Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

III.5. Lineare Abbildungen
Dieser Zusammenhang motiviert, eine entsprechende Invariante für lineare
Abbildungen einzuführen.
Definition III.5.17. Es seien V,W endlichdimensionale K-Vektorräume und
f: V −→ W eine lineare Abbildung. Die Zahl
heißt der Rang von f.
Rg(f) := Dim K
(
Bild(f)
)
Bemerkung III.5.18. Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen den oben
eingeführten linearen Abbildungen und linearen Gleichungssystemen. Genauer
gilt
Bild(f A ) = { b ∈ K n |L(A,b) ≠ ∅ } und Ker(f A ) = L(A,0).
Beispiel III.5.19. Es sei α ∈ [0,2π). Die Drehung D α : R 2 −→ R 2 um den Winkel α
ist eine lineare Abbildung. Wie man Abbildung III.1 entnimmt, gilt
D α (e 1 ) =
( cos(α)
sin(α)
)
und D α (e 2 ) =
( −sin(α)
cos(α)
)
.
} {{ }
sin(α)
α
} {{ }
cos(α)
D α (e 1 )
e 1
Dα(e2)
α
} {{ }
−sin(α)
e2
} {{ }
cos(α)
Abbildung III.1: Drehungen als lineare Abbildungen
Für die Matrix
gilt
( cos(α) −sin(α)
A :=
sin(α) cos(α)
D α = f A .
)
Lineare Abbildungen und Basen. — Mit Hilfe von Basen kann man lineare
Abbildungen zwischen endlichdimensionalen K-Vektorräumen explizit und effizient
beschreiben. Mit dieser Beschreibung werden wir hier beginnen und sie
ausführlich in Kapitel IV entwickeln.
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