Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
als die (m×n)-Matrix mit den Spalten v 1 ,...,v n . Mit (I.5) sieht man, dass gilt:
b ∈ 〈v 1 ,...,v n 〉 ⇐⇒ L(A,b) ≠ ∅.
(III.1)
Umgekehrt seien A ∈ Mat(m,n;K) und v 1 ,...,v n ∈ K m die Spalten der Matrix A.
Dann hat man
〈v 1 ,...,v n 〉 = { b ∈ K m |L(A,b) ≠ ∅ } .
Folgerung III.2.3. Wenn {v 1 ,...,v n } ein Erzeugendensystem für K m ist, dann gilt
n ≥ m.
Beweis. Wir nehmen an, es sei n < m. Mit dem Gauß-Algorithmus überführen
wir die Matrix A in eine Matrix A ′ in Zeilenstufenform. Die Matrix A ′ hat r ≤ n <
m Stufen, so dass die letzte Zeile von A ′ eine Nullzeile ist. Für b ′ := e m gilt daher
L(A ′ ,b ′ ) = ∅. Nun können wir die an A durchgeführten Zeilenoperationen
wieder rückgängig machen, d.h. wir können die erweiterte Koeffizientenmatrix
(A ′ |b ′ ) durch Zeilenoperationen in eine Matrix der Form (A|b) mit b ∈ K m
überführen. Es gilt
Lemma I.4.1
L(A,b) = L(A ′ ,b ′ ) = ∅,
so dassnach(III.1)b ∉ 〈v 1 ,...,v n 〉.Dies befindetsich imWiderspruchzu unserer
Annahme.
Aufgabe III.2.4.
Es seien V ein K-Vektorraum und M, M ′ Teilmengen von V. Überprüfen Sie die
folgenden Eigenschaften der linearen Hülle.
a) 〈M〉 ist ein linearer Teilraum von V, der M enthält.
b) Ein linearer Unterraum U ⊆ V, der M enthält, enthält auch die lineare
Hülle 〈M〉. (Somit ist 〈M〉 der ”
kleinste“ lineare Teilraum von V, der M
enthält.)
c) Es gilt
〈M〉 = ⋂
U⊆V UR:
M⊆U
d) Gilt M ⊆ M ′ , dann gilt auch 〈M〉 ⊆ 〈M ′ 〉.
III.3 Linear unabhängige Teilmengen
Für eine Teilmenge M eines Vektorraums V haben wir den Unterraum 〈M〉 ⊆ V
aller Linearkombinationen von Elementen aus M eingeführt. Nun wollen wir
diejenigen Teilmengen M hervorheben, für die sich jedes Element v ∈ 〈M〉 in
eindeutiger Weise als Linearkombination von Elementen aus M schreiben
lässt.
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U.