Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

III.5. Lineare Abbildungen
Beweis. i) Nach Satz III.5.21 gibt es genau eine lineare Abbildung Φ B : V −→ K n
mit Φ B (b i ) = e i , i = 1,...,n. Es ist zu überprüfen, dass Φ B bijektiv ist. Für die
Surjektivität verwenden wir Eigenschaft III.5.4, iii). Es gilt
Bild(Φ B ) = Φ B (V) = Φ B
(
〈B〉
)
=
〈
ΦB (B) 〉 = 〈 Φ B (b 1 ),...,Φ B (b n ) 〉 = 〈e 1 ,...,e n 〉 = K n .
Zum Nachweis der Injektivität verwenden wir das Kriterium aus Lemma III.5.7.
∑
Es sei v = n λ i ·b i ein Vektor aus dem Kern von Φ B . Dann gilt
i=1
0 = Φ B
( n∑
i=1
λ i ·b i
)
=
n∑
λ i ·Φ B (b i ) =
i=1
n∑
λ i ·e i .
Es folgt λ 1 = ··· = λ n = 0 und damit v = 0.
ii) Wirzeigenzunächst,dassB Φ einErzeugendensystemist.Dazuverwenden
wir den linearen Isomorphismus Φ −1 : K n −→ V. Wie zuvor sehen wir
〈
〈B Φ 〉 = Φ −1( {e 1 ,...,e n } )〉 = Φ −1( 〈e 1 ,...,e n 〉 ) = Φ −1 (K n ) = V.
Jetzt widmen wir uns der linearen Unabhängigkeit von B Φ . Es seien λ 1 ,...,λ n ∈
K, so dass
n∑
0 = λ i ·Φ −1 (e i ).
Auf diese Identität wenden wir Φ an und erhalten
( n∑
)
n∑
0 = Φ(0) = Φ λ i ·Φ −1 (e i ) = λ i ·Φ ( Φ −1 (e i ) ) =
i=1
i=1
i=1
i=1
n∑
λ i ·e i .
Es folgt wiederum λ 1 = ··· = λ n = 0. Die Behauptungen in Teil iii) ergeben sich
unmittelbar aus den Definitionen.
Definition III.5.32. Es seien V, W zwei K-Vektorräume. Wir sagen, V und W
sind isomorph, wenn es einen linearen Isomorphismus Φ: V −→ W gibt.
Schreibweise. V ∼ = W.
FolgerungIII.5.33. EsseienV undW zweiendlichdimensionaleK-Vektorräume.
Dann sind V und W genau dann isomorph, wenn
Dim K (V) = Dim K (W).
Somit ist ein n-dimensionaler K-Vektorraum zum Vektorraum K n isomorph.
Hier schließt sich ein Kreis: Wir haben in Definition I.2.1 mit dem Vektorraum
K n begonnen, um Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme definieren
zu können. Ausgehend von den Eigenschaften dieses Vektorraums (Aufgabe
I.2.10) haben wir das abstrakte Konzept des Vektorraums eingeführt. Nun
i=1
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