Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
M = {1,...,m}×{1,...,n}anwenden(vgl.BeispielIII.1.2,ii). Für (i,j) ∈ M erhalten
wir in Matrix-Schreibweise
j-te Spalte
⎛
E ij := e (i,j) =
⎜
⎝
0
0.
0 0
0 ··· 0 1 0 ··· ··· ··· 0
0...
0
0
0
⎞
.
⎟
⎠
Somit ist {E ij |i = 1,...,m, j = 1,...,n} eine Basis für Mat(m,n;K).
i-te Zeile
Der folgende Satz enthält weitere Charakterisierungen für Basen.
Satz III.4.4. Es seien V ein K-Vektorraum und B ⊆ V eine Teilmenge. Dann sind
die folgenden Eigenschaften äquivalent.
i) B ist eine Basis für V.
ii) B ist ein minimales Erzeugendensystem für V, d.h. für jede echte Teilmenge
B ′ B gilt 〈B ′ 〉 V.
iii) B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge, d.h. jede Menge B ′ , die
B echt enthält (i.e. B B ′ ), ist linear abhängig.
Beweis. Wir zeigen zunächst die Implikation ”
i)=⇒iii)“. Nach Definition einer
Basis ist B linear unabhängig. Es sei nun B B ′ . Wir wählen ein Element
v 0 ∈ B ′ \ B. Da B eine Basis ist, finden wir Elemente λ b ∈ K, b ∈ B, die fast alle
null sind, so dass
v 0 = ∑ b∈Bλ b ·b.
Wir definieren nun für x ∈ B ′ ⎧
⎨ 1, x = v 0
κ x := −λ x , x ∈ B
⎩
0, sonst
.
Die Elemente κ x ∈ K, x ∈ B ′ , sind fast alle null, und es gilt
∑
κ x ·x = v 0 + ∑ b )·b = v 0 −
x∈B b∈B(−λ ∑ λ b ·b = v 0 −v 0 = 0.
′ b∈B
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