Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
von R 3 . Berechnen Sie eine Basis für U ∩ U ′ , und bestimmen Sie die Summe
U+U ′ ⊆ R 3 als Unterraum. Ermitteln Sie schließlich ein lineares Komplement
zu U∩U ′ in U+U ′ .
III.6 Quotientenvektorräume
Definition III.6.1. Es seien V ein K-Vektorraum und U ⊆ V ein linearer Teilraum.
Für Vektoren v,v ′ ∈ V schreiben wir
v ∼ U v ′ :⇐⇒ v ′ −v ∈ U.
Falls v ∼ U v ′ , dann sind v,v ′ kongruent modulo U.
Bemerkung III.6.2. i) Nach Lemma II.4.5 ist ”
∼ U “ eine Äquivalenzrelation. Die
Äquivalenzklassen sind von der Form
[v] U = v+U = { v+u|u ∈ U } , v ∈ V.
ii) Es gilt genau dann v ∼ U v ′ , wenn es einen Vektor u ∈ U mit v ′ = v+u gibt,
v,v ′ ∈ V.
Satz III.6.3. Es seien V ein K-Vektorraum, U ⊆ V ein linearer Teilraum und
W := V/U die Menge der Äquivalenzklassen bzgl. der Äquivalenzrelation ”
∼ U “.
i) Die Abbildungen
+: W ×W −→ W
(
[v]U ,[v ′ ] U
)
↦−→ [v+v ′ ] U ,
·: K×W −→ W
(
λ,[v]U
)
↦−→ [λ·v]U
sind wohldefiniert und definieren auf W die Struktur eines K-Vektorraums.
ii) Die Zuordnung
π: V −→ W
ist eine surjektive lineare Abbildung mit
Falls V endlichdimensional ist, so gilt
v ↦−→ [v] U
Ker(π) = U.
Dim K (W) = Dim K (V)−Dim K (U).
92