Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
Als kleine Anwendung notieren wir:
Lemma III.5.38. Es seien V, W zwei K-Vektorräume, f: V −→ W eine lineare
Abbildung, und U ′ ⊆ V ein lineares Komplement zu Ker(f). Dann ist
ein linearer Isomorphismus.
f |U ′: U ′ −→ Bild(f)
u ′ ↦−→ f(u ′ )
Beweis. Die Abbildung f |U ′ ist offenbar linear. Sei w ∈ Bild(f). Es gibt also einen
Vektor v ∈ V mit f(v) = w. Ferner existieren Elemente u ∈ Ker(f) und u ′ ∈ U ′ mit
v = u+u ′ . Wir finden
w = f(v) = f(u+u ′ ) = f(u)+f(u ′ ) = f(u ′ ) = f |U ′(u ′ ).
Dies zeigt, dass f |U ′ surjektiv ist. Jetzt sei u ′ ∈ Ker(f |U ′). Also f(u ′ ) = f |U ′(u ′ ) = 0,
so dass u ′ ∈ Ker(f)∩U ′ = {0}. Nach Lemma III.5.7 ist f |U ′ injektiv.
Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen. — Die Dimension des Bilds
und des Kerns einer linearen Abbildung sind über die folgende Formel miteinander
verbunden. Damit kann man z.B. die in Problem III.4.17 gestellte Frage
beantworten.
Satz III.5.39 (Dimensionsformel für lineare Abbildungen). Es seien V, W Vektorräume
über K und f: V −→ W eine lineare Abbildung. Der Vektorraum V sei
endlichdimensional. Dann gilt
Dim K
(
Ker(f)
)
+DimK
(
Bild(f)
)
= DimK (V).
Beweis. Wir wählen gemäß Satz III.5.37 ein lineares Komplement U ′ zum Unterraum
Ker(f) von V. Dann gilt:
• Dim K
(
Ker(f)
)
+DimK (U ′ ) = Dim K (V) (Lemma III.5.35);
• Der Unterraum U ′ ist isomorph zu Bild(f) (Lemma III.5.38), so dass insbesondere
Dim K (U ′ ) = Dim K
(
Bild(f)
)
.
Diese beiden Tatsachen ergeben zusammen die Behauptung des Satzes.
Folgerung III.5.40. Gegeben seien endlichdimensionale K-Vektorräume V, W
und eine lineare Abbildung f: V −→ W.
i) Falls f injektiv ist, dann ergibt sich Dim K (V) ≤ Dim K (W).
ii) Falls f surjektiv ist, dann folgt Dim K (V) ≥ Dim K (W).
iii) Gilt Dim K (V) = Dim K (W), so sind folgende Aussagen äquivalent:
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