Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
Satz III.6.5 (Homomorphiesatz). Es seien V, W Vektorräume über dem Körper
K und f: V −→ W eine lineare Abbildung. Dann ist die Abbildung
f: V/Ker(f) −→ Bild(f)
[v] ↦−→ f(v)
wohldefiniert und ein linearer Isomorphismus.
Beweis. Wir zeigen, dass f wohldefiniert ist. Aus der Definition folgt dann unmittelbar,
dass f linear ist, Es seien v ∈ V, u ∈ Ker(f) und v ′ = v+u. Wir finden
f(v ′ ) = f(v+u) = f(v)+f(u) = f(v)+0 = f(v).
Nach der Dimensionsformel III.5.39 und Satz III.6.3, ii), haben V/Ker(f) und
Bild(f) dieselbe Dimension. Zudem ist f offenkundig surjektiv. Nach Folgerung
III.5.40, iii), ist f ein Isomorphismus.
Dieser Satz gibt einen ersten Eindruck davon, wie Quotientenvektorräume
auf natürliche Weise auftreten. In der Linearen Algebra kann man anstatt mit
Quotientenvektorräumen oft auch mit linearen Komplementen arbeiten (vgl.
Aufgabe III.6.7). Wir haben in Beispiel III.5.36, iii), gesehen, dass lineare Komplemente
im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt sind. Dagegen ist die Konstruktion
des Quotientenvektorraums kanonisch, d.h. sie hängt nicht von zusätzlichen
Wahlen ab. Die Konstruktion des Quotientenvektorraums funktioniert
auch im unendlichdimensionalen Kontext problemlos. Dagegen erfordert
der Beweis der Existenz eines linearen Komplements in dieser Situation das
Auswahlaxiom. Man beachte weiter, dass für einen K-Vektorraum V, einen linearen
Teilraum U ⊂ V und ein lineares Komplement U ′ von U die induzierte
Abbildung π |U ′: U ′ −→ V/U ein Isomorphismus ist. Man kann den Quotientenvektorraum
also als intrinsische Version des linearen Komplements ansehen.
Allerdings ist der Quotientenvektorraum kein linearer Teilraum des ursprünglichen
Vektorraums. Schließlich sei darauf hingewiesen, dass in anderen Situationen,
wie etwa der Gruppentheorie, Komplemente im Allgemeinen nicht
existieren und man somit auf die Konstruktion etwa von Faktorgruppen (vgl.
Satz II.4.6) angewiesen ist. Für eine Diskussion von Quotientenvektorräumen
mit Blick auf ”
kategorielle“ Konzepte verweisen wir auf [1], Kapitel II.
Aufgabe III.6.6.
a) Es seien v 1 ,...,v s ∈ K n und U := 〈v 1 ,...,v s 〉 ⊆ K n . Entwickeln Sie mit Hilfe der
obigen Ergebnisse einen Algorithmus zum Auffinden einer (m × n)-Matrix A,
für die
L(A,0) = U
gilt. Hierbei ist m = n−Dim K (U).
Hinweis. Geben Sie zunächst ein Verfahren an, dass aus den Vektoren v 1 ,...,v s
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