Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

III.4. Basen
Den wahren Nutzen des Begriffs einer Basis zeigt das folgende Resultat auf.
Lemma III.4.2. Eine Teilmenge B ⊆ V ist genau dann eine Basis, wenn es zu
jedem Vektor v ∈ V eindeutig bestimmte Zahlen λ b ∈ K, b ∈ B, gibt, die fast alle
null sind, so dass
v = ∑ b∈Bλ b ·b. (III.3)
Beweis. Nehmen wir zunächst an, die Teilmenge B habe die genannten Eigenschaften.
Dann ist B offenbar ein Erzeugendensystem für V. Es seien λ b ∈ K,
b ∈ B, fast alle null, mit ∑
b ·b = 0 =
b∈Bλ ∑ 0·b
b∈B
gegeben. Aus der Eindeutigkeit der λ b in (III.3) folgt λ b = 0 für alle b ∈ B, so dass
B auch linear unabhängig ist.
Es sei umgekehrt B eine Basis für V. Dann ist B ein Erzeugendensystem.
Jeder Vektor v ∈ V besitzt daher eine Darstellung wie in (III.3). Es bleibt, die
Eindeutigkeit der Koeffizienten λ b ∈ K, b ∈ B, zu überprüfen. Dazu seien v ∈ V
und λ b ∈ K und λ ′ b ∈ K, b ∈ B, zwei Sätze von Zahlen, so dass
Wir erhalten
∑
0 = v−v = ∑ b∈B
b∈Bλ b ·b = v = ∑ b∈B
λ b ·b− ∑ b∈B
λ ′ b ·b.
λ ′ b ·b = ∑ b∈B(λ b −λ ′ b )·b.
Da B linear unabhängig ist, folgt λ b −λ ′ b = 0, i.e. λ b = λ ′ b
für alle b ∈ B.
Beispiel III.4.3. i) Es sei M ⊆ V eine linear unabhängige Teilmenge. Dann ist M
eine Basis für 〈M〉.
ii) Wenn B eine Basis für K n ist, dann gilt #B = n. Denn B ist ein Erzeugendensystem,
so dass #B ≥ n nach Folgerung III.2.3. Nach Beispiel III.3.3,
iv), folgt #B ≤ n aus der linearen Unabhängigkeit von B. Man beachte, dass
{e 1 ,...,e n } eine Basis für K n ist. Allgemeiner gilt (Folgerung I.4.5, ii):
{
v1 ,...,v n
}
ist eine Basis für K
n
⇐⇒ L(A,0) = {0}, A := (v 1 |···|v n ).
iii) Für jede Matrix A ∈ Mat(m,n;K) liefert der Gauß-Algorithmus eine Basis
für den Lösungsraum L(A,0) (s. Satz I.4.2, ii), und I.4.4).
iv) Es sei M eine endliche Menge. Aus Beispiel III.3.3, v), folgt leicht, dass
{e x |x ∈ M} eine Basis für Abb(M,K) ist. Dies können wir insbesondere auf
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