Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
α) W ≠ ∅.
β) ∀κ,λ ∈ K, ∀v,w ∈ W : κ·v+λ·w ∈ W.
Der einfache Beweis wird dem Leser als Übungsaufgabe überlassen.
Beispiel III.1.6. i) Für jeden Vektorraum V sind {0} und V lineare Teilräume.
ii) Für A ∈ Mat(m,n;K) ist L(A,0) nach Lemma I.2.4 ein linearer Teilraum
von K n .
iii) Wenn W i , i ∈ I, eine Familie von Untervektorräumen von V ist, so ist ihr
Durchschnitt 3
U := ⋂ W i
i∈I
ebenfalls ein Untervektorraum von V. Zu a). Da 0 ∈ W i für alle i ∈ I, liegt 0 auch
in U. Zu b). Es seien v,w ∈ U. Dies bedeutet v,w ∈ W i für alle i ∈ I. Da W i ein
Untervektorraum von V ist, gilt ebenfalls v + w ∈ W i , i ∈ I. Daher haben wir
v+w ∈ U. Zu c). Für λ ∈ K und v ∈ U hat man v ∈ W i und damit λ·v ∈ W i für
alle i ∈ I, so dass λ·v ∈ U.
iv) Es seien A eine Menge und B ⊆ A eine Teilmenge. Wir definieren
W :=
{f ∈ Abb(A,K) ∣ }
∀x ∈ B : f(x) = 0 .
Dies ist ein linearer Teilraum von Abb(A,K). Wir wenden dazu das Kriterium
ii) aus Bemerkung III.1.5 an. Zu α). Offenbar liegt 0: A −→ K, x ↦−→ 0, in W.
Deshalb gilt W ≠ ∅. Für κ,λ ∈ K, zwei Abbildungen f,g ∈ W und x ∈ B gilt:
(
κ·f+λ·g
)
(x) = κ·f(x)+λ·g(x) = κ·0+λ·0 = 0.
Daher liegt κ·f+λ·g ebenfalls in W.
Aufgabe III.1.7.
a) Es seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und W,W ′ ⊆ V zwei lineare Unterräume
von V. Zeigen Sie, dass W ∪ W ′ genau dann ein linearer Unterraum
von V ist, wenn W ⊆ W ′ oder W ′ ⊆ W gilt.
b) Es sei K ein Körper mit nur endlich vielen Elementen (z.B. F 2 ). Zeigen Sie,
dass K n für jedes n ≥ 2 Vereinigung von endlich vielen echten Teilräumen
ist. (Dabei heißt ”
echt“, dass der entsprechende Teilraum nicht ganz K n ist.)
Erläutern Sie, warum für einen Körper mit unendlichvielen Elementen K 2 nicht
die Vereinigung von endlich vielen echten Teilräumen sein kann.
3 Als Menge ist dieser Durchschnitt vermöge Komprehension durch
⋂
W i :=
{v ∈ V ∣ }
∀i ∈ I : v ∈ Wi
gegeben.
i∈I
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