Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
stellt sich heraus, dass jeder ”
abstrakte“ endlichdimensionale Vektorraum im
Wesentlichenein K n ist. Trotzdemhat sich der große Aufwandgelohnt. Ein Vektorraum
besitzt nur selten eine ausgezeichnete Basis. (Man betrachte etwa die
in Abschnitt III.6 konstruierten Quotientenvektorräume.) Daher empfiehlt es
sich, die Theorie soweit wie möglich ohne die Verwendung von Basen zu entwickeln,
d.h. ohne die Vektorräumemit K n zu identifizieren.Auf der anderen Seite
käme man kaum auf die Idee, für K n eine andere Basis als die Standardbasis
zu wählen. Dennoch wird sich in Kapitel IV und V zeigen, dass die geschickte
Wahl einer Basis sich oftmals auszeichnet. Daher ist es wichtig, über einen
Formalismus zu verfügen, mit dem man diese Wahl angemessen beschreiben
kann.
Lineare Komplemente. — Eine Variante von Satz III.4.10, ii), führt zu einem
weiteren Verfahren, mit dem man einen Vektorraum in kleinere Bestandteile
zerlegen kann.
Definition III.5.34. Es seien V ein K-Vektorraum und U ⊆ V ein linearer Teilraum.
Ein linearer Teilraum U ′ ⊆ V ist ein lineares Komplement zu U in V,
wenn
V = U⊕U ′
gilt.
Nach Definition III.2.1, ii), bedeutet die Bedingung V = U⊕U ′ , dass
V = U+U ′ = { u+u ′ |u ∈ U, u ′ ∈ U ′ }
und
U∩U ′ = {0},
also dass sich jeder Vektor aus V in eindeutiger Weise als Summe eines Vektors
aus U und eines Vektors aus U ′ darstellen lässt.
Lemma III.5.35. Es seien V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum, U ⊆ V ein
linearer Teilraum und U ′ ⊆ V ein lineares Komplement zu U. Dann gilt:
Dim K (V) = Dim K (U)+Dim K (U ′ ).
Beweis. Die Vektorräume U und U ′ sind ebenfalls endlichdimensional (Folgerung
III.4.11). Wir wählen eine Basis B für U und eine Basis B ′ für U ′ . Wir
behaupten, dass B∪B ′ eine Basis für V ist. Zunächst zeigen wir, dass die Menge
B∪B ′ den Vektorraum V erzeugt. Es sei v ∈ V. Es existieren Vektoren u ∈ U
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