Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

III.5. Lineare Abbildungen
und u ′ ∈ U ′ mit v = u+u ′ . Weiter gibt es λ b ∈ K, b ∈ B, und µ b ′ ∈ K, b ′ ∈ B ′ , mit
u = ∑ λ b ·b und u ′ = ∑ µ b ′ ·b ′ . Es folgt
b∈B
b ′ ∈B ′
v = ∑ λ b ·b+ ∑
µ b ′ ·b ′ ∈ 〈B∪B ′ 〉.
b∈B b ′ ∈B ′
Weiter seien λ b ∈ K, b ∈ B, und µ b ′ ∈ K, b ′ ∈ B ′ , so dass
∑
λ b ·b+ ∑
µ b ′ ·b ′ = 0.
b ′ ∈B ′
Es folgt, dass
b∈B
∑
λ b ·b = − ∑
b∈B
} {{ }
=:u∈U
µ b ′ ·b ′ .
b ′ ∈B
} {{ ′ }
=:u ′ ∈U ′
Somit gilt u,u ′ ∈ U∩U ′ , d.h. u = u ′ = 0. Da B eine Basis von U ist, haben wir
λ b = 0, b ∈ B. Ebenso folgt, dass µ b ′ = 0, b ′ ∈ B ′ . Wir haben nachgewiesen, dass
die Menge B∪B ′ linear unabängig ist.
Bemerkungen und Beispiele III.5.36. i) Es sei V ein K-Vektorraum. Für U = {0}
ist U ′ = V das einzige lineare Komplement, und für U = V ist U ′ = {0} das
einzige.
ii) Wir betrachten den unendlichdimensionalen K-Vektorraum V := Abb(N,
K) (s. Aufgabe II.3.6 und Beispiel III.1.2, ii) und definieren
{f ∈ Abb(N,K) ∣ }
∀n ∈ N ungerade : f(n) = 0
Dann gilt
U :=
U ′ :=
{f ∈ Abb(N,K) ∣ ∣ ∀n ∈ N gerade : f(n) = 0
}
.
V = U⊕U ′ .
Man beachte, dass sowohl U als auch U ′ unendlichdimensional ist.
iii) Lineare Komplemente sind nicht eindeutig bestimmt. Es sei z.B. U :=
〈( 1
0)〉
⊆ K 2 . Dann ist U ′ := 〈( a
b)〉
für jeden Vektor
( a
b)
mit b ≠ 0 ein lineares
Komplement.
Satz III.5.37. Es seien V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und U ⊆ V
ein linearer Teilraum. Dann existiert ein lineares Komplement U ′ ⊆ V zu U.
Beweis. Es sei F eine Basis für U. Dann können wir nach Satz III.4.10, ii), eine
Teilmenge F ′ ⊆ V finden, so dass F ∪ F ′ eine Basis von V ist. Man überprüft
mühelos, dass U ′ := 〈F ′ 〉 ein lineares Komplement zu U ist.
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