Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

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Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen • Nach Beobachtung III.5.2 gilt f(0) = 0 ∈ U, so dass 0 ∈ f −1 (U). • Es seien λ ∈ K und v ∈ f −1 (U). Dann hat man f(λ·v) = λ·f(v) ∈ λ·U ⊆ U, so dass λ·v ∈ f −1 (U). • Es seien v,v ′ ∈ f −1 (U). Wir haben f(v+v ′ ) = f(v)+f(v ′ ) ∈ U+U ⊆ U, und es folgt v+v ′ ∈ f −1 (U). iii) Für M = ∅ haben wir f(∅) = ∅. Nach Vereinbarung in Definition III.2.1, ii), gilt 〈∅〉 = {0}. Die Behauptung lautet in diesem Fall f({0}) = {0} und folgt aus Beobachtung III.5.2. Für das Folgende dürfen wir M ≠ ∅ voraussetzen. Wir zeigen zunächst f(〈M〉) ⊆ 〈f(M)〉. Es sei v ∈ 〈M〉. Dann existieren s ≥ 1, λ 1 ,...,λ s ∈ K und v 1 ,...,v s ∈ M, so dass v = λ 1 ·v 1 +···+λ s ·v s . Wir berechnen f(v) = f(λ 1 ·v 1 +···+λ s ·v s ) = λ 1 ·f(v 1 )+···+λ s ·f(v s ) ∈ 〈 f(v 1 ),...,f(v s ) 〉 . Weiter gilt 〈 f(v1 ),...,f(v s ) 〉 ⊆ 〈f(w),w ∈ M〉 = 〈 f(M) 〉 . Die Inklusion f(〈M〉) ⊇ 〈f(M)〉 beweisen wir auf folgende Weise: Für einen Vektor w ∈ 〈f(M)〉 existieren λ 1 ,...,λ t , w 1 ,...,w t ∈ f(M) mit w = λ 1·w 1 +···+λ t·w t sowie v 1 ,...,v t ∈ M mit f(v i ) = w i , i = 1,...,t. Für v := λ 1 · v 1 + ··· + λ t · v t ∈ 〈M〉 finden wir f(v) = f(λ 1 ·v 1 +···+λ t ·v t ) = λ 1 ·f(v 1 )+···+λ t ·f(v t ) = λ 1 ·w 1 +···+λ t ·w t = w, i.e. w ∈ f(〈M〉). Definition III.5.5. Es seien V, W zwei K-Vektorräume und f: V −→ W eine lineare Abbildung. Die Teilmenge Ker(f) := f −1 (0) = { v ∈ V|f(v) = 0 } heißt der Kern von f. Bemerkung III.5.6. Nach Eigenschaft III.5.4, ii), ist Ker(f) ein linearer Teilraum von V. Lemma III.5.7. Es seien V, W zwei K-Vektorräume und f: V −→ W eine lineare Abbildung. Dann ist f genau dann injektiv, wenn Ker(f) = {0} gilt. Beweis. Die Abbildung f sei injektiv. Nach Beobachtung III.5.2 gilt 0 ∈ Ker(f) und daher Ker(f) = {0}. Jetzt setzen wir Ker(f) = {0} voraus. Es seien v,v ′ ∈ V mit f(v) = f(v ′ ). Dann gilt Wir schließen v−v ′ = 0, also v = v ′ . 76 0 = f(v)−f(v ′ ) = f(v−v ′ ).
III.5. Lineare Abbildungen Satz III.5.8. Es seien V, W zwei K-Vektorräume und f: V −→ W eine bijektive lineare Abbildung. Dann ist auch die Umkehrabbildung 6 f −1 : W −→ V linear. Beweis. Schritt 1. Es seien w ∈ W, λ ∈ K und v := f −1 (w). Da f linear ist, gilt λ·w = λ·f(v) = f(λ·v). Darauf wenden wir f −1 an und finden f −1 (λ·w) = f −1( f(λ·v) ) = (f −1 ◦f)(λ·v) = Id V (λ·v) = λ·v = λ·f −1 (w). Schritt 2. Es seien w,w ′ ∈ W, v := f −1 (w) und v ′ = f −1 (w ′ ). Es gilt w +w ′ = f(v)+f(v ′ ) = f(v+v ′ ), denn f ist linear. Wir schließen Damit ist alles gezeigt. f −1 (w+w ′ ) = v+v ′ = f −1 (w)+f −1 (w ′ ). Bemerkung III.5.9. Eine lineare Abbildung f: V −→ W ist genau dann bijektiv, wenn eine lineare Abbildung g: W −→ V existiert, so dass g ◦ f = Id V und f◦g = Id W . Definition III.5.10. Es seien V, W zwei K-Vektorräume und f: V −→ W eine bijektive lineare Abbildung. Man nennt f einen (linearen) Isomorphismus. Matrizen und lineare Abbildungen. — Lineare Abbildungen zwischen K m und K n lassen sich elegant mit Matrizen beschreiben. Hier treffen wir auf Bekannte aus Kapitel I. Definition III.5.11. Es sei A := ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ a 11 ··· a 1n ⎟ . . ⎠ a m1 ··· a mn eine (m×n)-Matrix. Wir setzen f A : K n −→ K ⎛ ⎞ ⎛ m ⎞ s 1 t 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ . ⎠ ↦−→ ⎝ . ⎠, t i := s n t m n∑ a ij ·s j , j = 1,...,m. j=1 Bemerkung III.5.12. Es ist leicht zu überprüfen, dass f A eine lineare Abbildung ist (s. Aufgabe III.5.43). 6 s. Definition II.1.26 77
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