Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

III.5. Lineare Abbildungen
• ∀v,v ′ ∈ V: f(v+v ′ ) = f(v)+f(v ′ ).
Beobachtung III.5.2. Es seien V, W zwei K-Vektorräume und f: V −→ W eine
lineare Abbildung. Dann gilt f(0) = 0.
Beweis. Es sei v ∈ V. Dann hat man nach Lemma III.1.3, i),
Dies zeigt die Behauptung.
f(0) = f(0·v) = 0·f(v) = 0.
Beispiel III.5.3. i) Für jeden K-Vektorraum V ist Id V : V −→ V eine lineare Abbildung.
ii) Es seien V, W zwei K-Vektorräume. Dann ist 0: V −→ W, v ↦−→ 0, eine
lineare Abbildung.
iii) Es seien V ein K-Vektorraum und α ∈ K. Die zugehörige Homothetie ist
die Abbildung
h α : V −→ V
v ↦−→ α·v.
Mit Hilfe der Vektorraum-Axiome (Definition III.1.1) überprüfen wir, dass h α
eine lineare Abbildung ist:
• Für λ ∈ K und v ∈ V haben wir
h α (λ·v) = α·(λ·v) = (α·λ)·v = (λ·α)·v = λ·(α·v) = λ·h α (v).
• Für v,v ′ ∈ V gilt
h α (v+v ′ ) = α·(v+v ′ ) = α·v+α·v ′ = h α (v)+h α (v ′ ).
Eigenschaften III.5.4. Es seien V, W zwei K-Vektorräume und f: V −→ W eine
lineare Abbildung.
i) Für jeden linearen Teilraum U ⊆ V von V ist f(U) ⊆ W ein linearer Teilraum
von W. Insbesondere ist Bild(f) ein linearer Teilraum von W.
ii) Es sei U ⊆ W ein linearer Teilraum von W. Dann ist f −1 (U) ⊆ V ein linearer
Teilraum von V. Insbesondere ist Ker(f) ein linearer Teilraum von V.
iii) Für jede Teilmenge M ⊆ V gilt
f ( 〈M〉 ) = 〈 f(M) 〉 .
Beweis. Teil i) folgt aus Teil iii). (Man wähle etwa M := U.)
ii) Wir überprüfen die Axiome aus Definition III.1.4:
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