Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
ii) Es seien V ein K-Vektorraum und v i , i ∈ I, eine durch I indizierte Familie
von Elementen aus V, die fast alle null sind. Dann setzen wir
∑
v i := ∑
v i .
i∈I
i∈I:v i ≠0
Die rechte Seite ist als Summe von nur endlich vielen Elementen wohldefiniert.
Definition III.2.1. i) Es seien v 1 ,...,v m Elemente des K-Vektorraums V. Eine
Linearkombination von v 1 ,...,v m ist ein Element v ∈ V, zu dem es Zahlen
λ 1 ,...,λ m ∈ K mit
v = λ 1 ·v 1 +···+λ m ·v m
gibt.
ii) Es sei M ⊆ V eine beliebige Teilmenge von V. Die lineare Hülle oder das
lineare Erzeugnis von M ist die Menge
{v ∈ V ∣ }
v ist Linearkombination von endlich vielen Elementen aus M
〈M〉 :=
=
{ ∑
v∈M
λ v ·v ∣ }
λv ∈ K, v ∈ M, fast alle null .
Vereinbarungen. 〈∅〉 := {0}; 〈v 1 ,...,v m 〉 := 〈{v 1 ,...,v m }〉.
Spezialfall. Es sei W i , i ∈ I, eine Familie von linearen Teilräumen von V. Dann
heißt 4
∑ 〈⋃ 〉
W i := W i
i∈I
=
i∈I
{ ∑
i∈I
}
∣
w ∣wi i ∈ W i , i ∈ I, fast alle null
die Summe der Unterräume W i , i ∈ I. Falls für alle Familien w i ∈ W i , i ∈ I, die
fast alle null sind, ∑
w i = 0 =⇒ ∀i ∈ I : w i = 0
i∈I
gilt, dann sprechen wir von der direkten Summe der W i , i ∈ I, und schreiben
⊕
W i := ∑ W i .
i∈I i∈I
4 Als Menge kann diese Vereinigung durch
⋃
W i :=
{v ∈ V ∣ }
∣∃i ∈ I : v ∈ W i
i∈I
beschrieben werden und ist daher durch Anwendung der Komprehension definiert.
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