Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

III.6. Quotientenvektorräume
Beweis. i) Wir wissen bereits, dass ”
+“ wohldefiniert ist und (W,+) eine abelsche
Gruppe (Satz II.4.6). Es ist nun die Wohldefiniertheitvon ”·“ zu verifizieren.
Dazu seien λ ∈ K, v ∈ V, u ∈ U und v ′ = v+u. Wir wollen
zeigen. Dazu berechnen wir
[λ·v ′ ] U = [λ·v] U
λ·v ′ −λ·v = λ·(v ′ −v) = λ·u.
Das Element λ·u gehört zu U, denn U ist ein linearer Teilraum. Die Gültigkeit
der verbleidenden Axiome (S1) - (S4) ist angesichts der Definition von +“ und ”
eine unmittelbare Konsequenz der Gültigkeit der entsprechendenAxiome im
”·“
Vektorraum V.
ii) Die Linearität und die Surjektivität von π sind offensichtlich. Es sei u ∈ U.
Dann gilt 0−u = −u ∈ U, so dass u ∼ U 0 und [u] U = [0] U . Dies zeigt u ∈ Ker(π).
Sei umgekehrt v ∈ Ker(π). Dies bedeutet
so dass 0 ∼ U v, also v = v−0 ∈ U.
[v] U = π(v) = 0 = [0] U ,
Wir können jetzt endlich Problem I.4.6, ii), lösen:
Folgerung III.6.4. Es seien n ≥ 1 eine natürliche Zahl und U ⊆ K n ein linearer
Teilraum. Dann existieren eine natürliche Zahl m ∈ {1,...,n} und eine (m × n)-
Matrix A mit
U = L(A,0).
Beweis. Wir wählen eine durchnummerierte Basis B für den K-Vektorraum
W := K n /U und definieren mit den Bezeichnungen aus Satz III.5.31 und III.6.3
die lineare Abbildung
g: K n π
−→ W Φ B
−→ K m , m := #B.
Es gibt eine (m×n)-Matrix A, so dass g = f A (Folgerung III.5.22). Nun erkennen
wir mit Satz III.6.3, ii), und Bemerkung III.5.18
U = Ker(π) = Ker(g) = Ker(f A ) = L(A,0).
Die Gleichheit der Kerne ergibt sich aus der Tatsache, dass Φ B ein Isomorphismus
ist.
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