Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

III.1. Vektorräume
in der Form (a ij )i=1,...,m, also als (m×n)-Matrix. Damit definieren wir
j=1,...,n
Mat(m,n;K) := Abb(A,K),
den Vektorraum der (m×n)-Matrizen. Falls m = n, so schreiben wir
Mat(n;K) := Mat(n,n;K).
iii) Der Körper R kann als Vektorraum über dem Körper Q der rationalen
Zahlen aufgefasst werden.
Lemma III.1.3. In einem K-Vektorraum V gelten u.A. die folgenden Rechenregeln:
i) ∀v ∈ V : 0·v = 0. 1
ii) ∀v ∈ V : (−1)·v = −v.
iii) ∀λ ∈ K : λ·0 = 0. 2
Beweis. Für i) benutzen wir denselben Trick wie bei Ringen. Es gilt
0·v = (0+0)·v (S4)
= 0·v+0·v.
Auf beiden Seiten addierenwir das zu 0·v in (V,+) inverse Elementund erhalten
die Behauptung. Für ii) gehen wir wie folgt vor:
0 = i) 0·v = ( (S4)
1+(−1)
)·v = 1·v+(−1)·v (S2)
= v+(−1)·v.
Punkt iii) kann man genauso wie i) zeigen.
Definition III.1.4. Es sei V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge W ⊆ V ist ein
Untervektorraum oder linearer Teilraum von V, wenn gilt:
a) 0 ∈ W.
b) ∀v,w ∈ W: v+w ∈ W.
c) ∀λ ∈ K, ∀v ∈ W : λ·v ∈ W.
Bemerkung III.1.5. i) Aus c) und Lemma III.1.3, ii), folgt, dass für jedes v ∈
W auch −v ∈ W gilt. Daher ist W eine Untergruppe von (V,+) im Sinne von
Definition II.2.7. Insbesondere induziert die Addition eine Abbildung + : W ×
W −→ W. Auf Grund von c) können wir auch · : K × W −→ W, (λ,v) ↦−→ λ · v,
bilden. Dabei ist λ · v die Skalarmultiplikation in V. Mit diesen Abbildungen
erhält W selber die Struktur eines K-Vektorraums.
ii) Eine Teilmenge W ⊆ V ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
1 Dabei ist links die Null in K und rechts die in V gemeint.
2 Hier ist auf beiden Seiten die Null in V gemeint.
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