Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

III.5. Lineare Abbildungen
Es sei ˜f: B −→ W eine mengentheoretische Abbildung. Wir definieren eine
Abbildung f: V −→ W auf folgende Weise: Zu v ∈ V seien λ b ∈ K, b ∈ B, die
eindeutig bestimmten Zahlen, für die v = ∑ b∈Bλ b ·b gilt. Damit setzen wir
f(v) = ∑ b∈Bλ b · ˜f(b).
Man vergewissert sich leicht, dass f linear ist und f |B = ˜f erfüllt (s. Aufgabe
III.5.47).
Folgerung III.5.22. Es seien m,n ∈ N natürliche Zahlen und f: K n −→ K m eine
lineare Abbildung. Dann gibt es genau eine (m×n)-Matrix A ∈ Mat(m,n;K), so
dass
f = f A .
Beweis. Es sei {e j |j = 1,...,n} die Standardbasis von K n . Wir schreiben
und definieren
A :=
f(e j ) =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎞
a 1j
⎟
. ⎠ ∈ K m , j = 1,...,n,
a mj
⎞
a 11 ··· a 1n
⎟
. . ⎠ ∈ Mat(m,n;K).
a m1 ··· a mn
Die Abbildungen f und f A sind linear, und nach Konstruktion gilt f(e j ) = f A (e j ),
j = 1,...,n. Die Injektivitätsaussagein Satz III.5.21 impliziert f = f A . Die Eindeutigkeit
ergibt sich, da f A (e j ) gerade die j-te Spalte der Matrix A ist, j = 1,...,n.
Der Endomorphismenring und die allgemeine lineare Gruppe eines Vektorraums.
— In Abschnitt II.2 haben wir gesehen, dass die bijektiven Selbstabbildungen
einer Menge bzgl. Verknüpfung eine Gruppe bilden. Dasselbe gilt für
die bijektiven linearen Selbstabbildungeneines Vektorraums.Bevor wir darauf
eingehen, werden wir erklären, dass die Menge aller linearen Selbstabbildungen
eines Vektorraums ebenfalls eine interessante algebraische Struktur trägt.
Satz III.5.23. Es seien U, V, W K-Vektorräume und f: U −→ V und g: V −→ W
Abbildungen.Wennfundglinearsind,dannistauchdieVerknüpfungg◦f: U −→
W linear.
Beweis. Es seien λ ∈ K und u,u ′ ∈ U.
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