Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

III.4. Basen
Definition III.4.12. i) Der Vektorraum der Zeilenvektoren ist
{
}
ZK n := Mat(1,n;K) = (s 1···s n )|s i ∈ K, i = 1,...,n .
ii) Es seien
eine (m×n)-Matrix,
A =
⎛
⎜
⎝
⎞
a 11 ··· a 1n
⎟
. . ⎠ ∈ Mat(m,n;K)
a m1 ··· a mn
v j :=
die j-te Spalte von A, j = 1,...,n, und
die i-te Zeile, i = 1,...,m. Die Zahl
⎛
⎜
⎝
ist der Spaltenrang von A und die Zahl
der Zeilenrang.
⎞
a 1j
⎟
. ⎠ ∈ K m
a mj
z i = (a i1···a in ) ∈ ZK n
S-Rg(A) := Dim K 〈v 1 ,...,v n 〉
Z-Rg(A) := Dim K 〈z 1 ,...,z m 〉
Beispiel III.4.13. Es sei A eine Matrix in Zeilenstufenform wie in Satz I.3.3, i),
beschrieben. Dann gilt
S-Rg(A) = r = Z-Rg(A).
Satz III.4.14. Es seien A,A ′ ∈ Mat(m,n;K) zwei (m×n)-Matrizen.
i) Die Matrix A ′ gehe aus der Matrix A durch eine Zeilenoperation vom Typ
(ZI), (ZII) oder (ZIII) (s. Definition I.3.1) hervor. Dann gilt
Z-Rg(A ′ ) = Z-Rg(A).
ii) Falls die Matrix A ′ aus der Matrix A durch eine Spaltenoperation vom Typ
(SI), (SII) oder (SIII) (s. Aufgabe I.4.10) hervorgeht, so gilt
S-Rg(A ′ ) = S-Rg(A).
Beweis. Der Beweis wird der Leserin bzw. dem Leser als Übungsaufgabe überlassen
(Aufgabe III.4.21).
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