Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
Definition III.5.20. Es seien V, W zwei K-Vektorräume. Man setzt
Hom K (V,W) := { f: V −→ W ∣ ∣ f ist linear
}.
und
In Aufgabe III.5.46 werden Abbildungen
+: Hom K (V,W)×Hom K (V,W) −→ Hom K (V,W)
(f,g) ↦−→ f+g
·: K×Hom K (V,W) −→ Hom K (V,W)
(λ,f) ↦−→ λ·f
definiert, so dass (Hom K (V,W),+,·) ein K-Vektorraum ist.
Satz III.5.21. Es seien V, W zwei K-Vektorräume und B ⊆ V eine Basis für V.
Dann ist
ein linearer Isomorphismus.
Ψ B : Hom K (V,W) −→ Abb(B,W)
f ↦−→ f |B: B −→ W
b ↦−→ f(b)
Die Injektivität besagt, dass eine lineare Abbildung durch ihre Werte auf
den Basisvektoren eindeutig bestimmt ist. Die Surjektivität besagt, dass man
für beliebige vorgeschriebene Werte der Basisvektoren eine lineare Abbildung
von V nach W finden kann, die auf den Basisvektoren die vorgeschriebenen
Werte annimmt.
Beweis von Satz III.5.21. Die Linearität der angegebenen Abbildung folgt direkt
aus der Definition der Vektorraum-Strukturen auf Hom K (V,W) und Abb(B,W)
(s. Aufgabe III.1.8 und III.5.46).
Zu jedem Vektor v ∈ V existieren eindeutig bestimmte Zahlen λ b , b ∈ B, so
dass v = ∑ b∈Bλ b ·b. Für eine lineare Abbildung f: V −→ W gilt
f(v) = ∑ b∈Bλ b ·f(b).
Diese Formel zeigt, wie man f(v) aus den Werten f(b), b ∈ B, von f auf den
Basisvektoren berechnet. Es folgt die Injektivität.
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