Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
Im letzten Schritt gilt die strikte Ungleichung, weil B ein minimales Erzeugendensystem
ist. Relation (III.5) kann offensichtlich nicht wahr sein.
Folgerung III.4.5. Es sei V ein K-Vektorraum. Wenn es ein Erzeugendensystem
M für V gibt, das nur endlich viele Elemente enthält, dann besitzt V eine Basis.
Beweis. Wir entfernen solange Elemente aus M, bis wir ein minimales Erzeugendensystem
und damit nach Satz III.4.4 eine Basis erhalten.
Formal ist dies eine vollständige Induktion über n := #M. Für n = 0 gilt
V = {0}, und ∅ ist eine Basis.Für den Schluß ”
n n+1“ gehen wir folgendermaßen
vor. Wenn M ein minimales Erzeugendensystem ist, dann ist M nach Satz
III.4.4 bereits eine Basis. Ansonsten gibt es ein v 0 ∈ M, so dass M ′ := M \ {v 0 }
ein Erzeugendensystem mit n Elementen ist. Nach Induktionsvoraussetzung
besitzt V dann eine Basis.
Satz III.4.6. Es sei V ein K-Vektorraum. Wenn V eine endliche Basis B besitzt,
dann ist jede andere Basis B ′ von V ebenfalls endlich, und es gilt
#B ′ = #B.
Dieser Satz bildet die Grundlage für den Dimensionsbegriff für endlichdimensionale
Vektorräume:
Definition III.4.7. Ein Vektorraum V heißt endlichdimensional, wenn es eine
Basis B für V mit endlich vielen Elementen gibt.
Schreibweise. Dim K (V) < ∞.
In diesem Fall wird
Dim K (V) := #B
die Dimension von V genannt, B eine Basis von V.
Ist V nicht endlichdimensional, so sagt man, V ist unendlichdimensional,
und schreibt Dim K (V) = ∞.
Man beachte, dass Satz III.4.6 garantiert, dass die Begriffe ”
endlichdimensional“
und ”
Dimension“ sinnvoll sind.
Beispiel III.4.8. Dim K (K n ) = n; Dim K
(
Mat(m,n;K)
)
= m·n.
Bevor wir uns seinem Beweis von Satz III.4.6 widmen können, benötigen wir
noch einige Vorbereitungen.
Lemma III.4.9 (Austauschlemma). Es seien V ein K-Vektorraum, B = {b 1 ,...,b n }
eine Basis für V und w = ∑ b∈Bλ b · b ∈ V \{0}. Falls λ b ′ ≠ 0 für das Element b ′ ∈ B
gilt, dann ist
ebenfalls eine Basis für V.
B ′ := ( B\{b ′ } ) ∪{w}
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