Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
Satz III.5.28. Es sei V ein Vektorraum über K, Dann ist
GL(V) := { f ∈ S(V)|f ist linear }
eine Untergruppe von S(V). 9
= { f ∈ End K (V)|f ist bijektiv }
= { f ∈ End K (V)|∃g ∈ End K (V) : f◦g = Id V = g◦f }
Definition III.5.29. Die Gruppe GL(V) aus dem Satz ist die allgemeine lineare
Gruppe des Vektorraums V.
Beweis von Satz III.5.28. Wir überprüfen die Axiome aus Definition II.2.7. Das
neutrale Element der Gruppe S(V) ist die Identität. Es ist eine lineare Abbildung,
gehört also GL(V) an. Für eine bijektive lineare Abbildung f ∈ GL(V),
ist die Umkehrabbildung f −1 nach Satz III.5.8 ebenfalls linear, i.e. f −1 ∈ GL(V).
Schließlich seien f,g ∈ GL(V). Die Verknüpfung f◦g ist nach Satz III.5.23 ebenfalls
linear. Da sie auch bijektiv ist, gilt f◦g ∈ GL(V).
Definition III.5.30. Es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum der Dimension
n. Eine durchnummerierte Basis von V ist eine Basis B von V zusammen
mit einer bijektiven Abbildung β: {1,...,n} −→ B. Mit b i := β(i), i = 1,...,n,
werden wir eine durchnummerierte Basis einfach in der Form B = {b 1 ,...,b n }
schreiben.
Satz III.5.31. i) Es seien V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und B =
{b 1 ,...,b n }einedurchnummerierteBasisvonV.Danngibtesgenaueinenlinearen
Isomorphismus
Φ B : V −→ K n
mit
Φ B (b i ) = e i , i = 1,...,n.
ii) Seien umgekehrt V ein K-Vektorraum und Φ: V −→ K n ein linearer Isomorphismus.
Dann ist
B Φ := { Φ −1 (e 1 ),...,Φ −1 (e n ) }
eine durchnummerierte Basis von V.
iii) In den Bezeichnungen von i) und ii) gilt:
B ΦB = B und Φ BΦ = Φ.
9 Die Gruppe S(V) wurde in Beobachtung II.2.1 eingeführt.
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