Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
• Nach Definition gilt (g◦f)(u+u ′ ) = g ( f(u+u ′ ) ) . Da f linear ist, haben wir
g ( f(u + u ′ ) ) = g ( f(u) + f(u ′ ) ) . Die Linearität von g ergibt g ( f(u) + f(u ′ ) ) =
g ( f(u) ) +g ( f(u ′ ) ) = (g◦f)(u)+(g◦f)(u ′ ).
• Analog erhalten wir (g ◦ f)(λ · u) = g ( f(λ · u) ) = g ( λ · f(u) ) = λ · g ( f(u) ) =
λ·(g◦f)(u).
Somit ist g◦f eine lineare Abbildung.
Definition III.5.24. Es sei V ein K-Vektorraum.Eine lineare Abbildungf: V −→
V wird auch Endomorphismus von V genannt.
Schreibweise. Entsprechend setzt man End K (V) := Hom K (V,V).
In Aufgabe III.1.8 und III.5.46 haben wir die Operation
+: End K (V)×End K (V) −→ End K (V)
(f,g) ↦−→ f+g
erklärt. Nach Satz III.5.23 ist auch die Operation
definiert.
◦: End K (V)×End K (V) −→ End K (V)
(f,g) ↦−→ f◦g
Satz III.5.25. EsseiV einVektorraum,sodassDim K (V) ≥ 1. 8 Dannist(End K (V),
+,◦)einRing.DasneutraleElementderAdditionistdieNullabbildung0: V −→ V,
v ↦−→ 0, und dasjenige der Multiplikation die identische Abbildung Id V . Zusätzlich
gilt:
∀λ ∈ K∀f,g ∈ End K (V) : f◦(λ·g) = λ·(f◦g) = (λ·f)◦g.
Beweis. Schritt 1. Das Tripel (End K (V),+) ist eine abelsche Gruppe mit Neutralelement
0. Dies wurde bereits in Aufgabe III.5.46 nachgewiesen.
Schritt 2. Wir wissen ebenfalls (Beispiel II.1.24, i), Satz II.1.25, ii), dass für
f,g,h ∈ End K (V) gilt:
f◦Id V = f = Id V ◦f,
(f◦g)◦h = f◦(g◦h).
Da Dim K (V) ≥ 1, also V ≠ {0}, angenommen wurde, gilt 0 ≠ Id V .
8 Der Vektorraum V darf auch unendlichdimensional sein.
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