Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

III.5. Lineare Abbildungen
Schritt 3. Somit bleiben die beiden Distributivgesetze nachzuweisen. Dazu
seien f,g,h ∈ End K (V) und v ∈ V. Wir berechnen:
(
(f+g)◦h
)
(v) = (f+g)
(
h(v)
)
= f ( h(v) ) +g ( h(v) )
= (f◦h)(v)+(g◦h)(v)
= (f◦h+g◦h)(v),
(
f◦(g+h)
)
(v) = f
(
(g+h)(v)
)
= f ( g(v)+h(v) )
= f ( g(v) ) +f ( h(v) )
= (f◦g)(v)+(f◦h)(v)
= (f◦g+f◦h)(v).
In den Zwischenschritten haben wir die Definition der Summe von Abbildungen
und die Linearität der beteiligten Abbildungen verwendet. Die Behauptung
ergibt sich, weil zwei Abbildungen von V nach V genau dann gleich sind, wenn
sie auf allen Vektoren v ∈ V dieselben Werte annehmen (Bemerkung II.1.17, i).
Schritt 4. Für den Zusatz sei v ∈ V. Wir haben
(
λ·(f◦g)
)
(v) = λ·(
(f◦g)(v)
)
= λ·f
(
g(v)
)
= (λ·f)
(
g(v)
)
=
(
(λ·f)◦g
)
(v).
Damit ergibt sich die zweite Gleichung. Aus der Linearität von f folgt weiter
(
f◦(λ·g)
)
(v) = f
(
(λ·g)(v)
)
= f
(
λ·(g(v) )) = λ·f ( g(v) ) = λ·((f◦g)(v) ) ,
und man erhält die erste Gleichung.
Bemerkung III.5.26. Für den Nullvektorraum V = {0} gilt 0 = Id V , und es ergibt
sich der Nullring End K (V) = {0} (vgl. Bemerkung II.3.2, ii), den wir in Definition
II.3.1, i), ausgeschlossen hatten.
Beispiel III.5.27. Es gelte Dim K (V) = 1. Dann ist (s. Beispiel III.5.3, iii)
ϕ: K −→ End K (V)
α ↦−→ h α
ein Isomorphismus (vgl. Aufgabe II.4.11, c), d.h. eine bijektive Abbildung, so
dass
ϕ(α+α ′ ) = ϕ(α)+ϕ(α ′ ),
ϕ(α·α ′ ) = ϕ(α)◦ϕ(α ′ ), α,α ′ ∈ K,
ϕ(1) = Id V .
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