Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
• Nach Beobachtung III.5.2 gilt f(0) = 0 ∈ U, so dass 0 ∈ f −1 (U).
• Es seien λ ∈ K und v ∈ f −1 (U). Dann hat man f(λ·v) = λ·f(v) ∈ λ·U ⊆ U, so
dass λ·v ∈ f −1 (U).
• Es seien v,v ′ ∈ f −1 (U). Wir haben f(v+v ′ ) = f(v)+f(v ′ ) ∈ U+U ⊆ U, und es
folgt v+v ′ ∈ f −1 (U).
iii) Für M = ∅ haben wir f(∅) = ∅. Nach Vereinbarung in Definition III.2.1,
ii), gilt 〈∅〉 = {0}. Die Behauptung lautet in diesem Fall f({0}) = {0} und folgt aus
Beobachtung III.5.2.
Für das Folgende dürfen wir M ≠ ∅ voraussetzen. Wir zeigen zunächst
f(〈M〉) ⊆ 〈f(M)〉. Es sei v ∈ 〈M〉. Dann existieren s ≥ 1, λ 1 ,...,λ s ∈ K und
v 1 ,...,v s ∈ M, so dass v = λ 1 ·v 1 +···+λ s ·v s . Wir berechnen
f(v) = f(λ 1 ·v 1 +···+λ s ·v s ) = λ 1 ·f(v 1 )+···+λ s ·f(v s ) ∈ 〈 f(v 1 ),...,f(v s ) 〉 .
Weiter gilt 〈
f(v1 ),...,f(v s ) 〉 ⊆ 〈f(w),w ∈ M〉 = 〈 f(M) 〉 .
Die Inklusion f(〈M〉) ⊇ 〈f(M)〉 beweisen wir auf folgende Weise: Für einen
Vektor w ∈ 〈f(M)〉 existieren λ 1 ,...,λ t , w 1 ,...,w t ∈ f(M) mit w = λ 1·w 1 +···+λ t·w t
sowie v 1 ,...,v t ∈ M mit f(v i ) = w i , i = 1,...,t. Für v := λ 1 · v 1 + ··· + λ t · v t ∈ 〈M〉
finden wir
f(v) = f(λ 1 ·v 1 +···+λ t ·v t ) = λ 1 ·f(v 1 )+···+λ t ·f(v t ) = λ 1 ·w 1 +···+λ t ·w t = w,
i.e. w ∈ f(〈M〉).
Definition III.5.5. Es seien V, W zwei K-Vektorräume und f: V −→ W eine
lineare Abbildung. Die Teilmenge
Ker(f) := f −1 (0) = { v ∈ V|f(v) = 0 }
heißt der Kern von f.
Bemerkung III.5.6. Nach Eigenschaft III.5.4, ii), ist Ker(f) ein linearer Teilraum
von V.
Lemma III.5.7. Es seien V, W zwei K-Vektorräume und f: V −→ W eine lineare
Abbildung. Dann ist f genau dann injektiv, wenn Ker(f) = {0} gilt.
Beweis. Die Abbildung f sei injektiv. Nach Beobachtung III.5.2 gilt 0 ∈ Ker(f)
und daher Ker(f) = {0}. Jetzt setzen wir Ker(f) = {0} voraus. Es seien v,v ′ ∈ V
mit f(v) = f(v ′ ). Dann gilt
Wir schließen v−v ′ = 0, also v = v ′ .
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0 = f(v)−f(v ′ ) = f(v−v ′ ).