Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
(S2) ∀v ∈ V : 1·v = v.
(S3) ∀κ,λ ∈ K, ∀v ∈ V: (κ+λ)·v = κ·v+λ·v.
(S4) ∀λ ∈ K, ∀v,w ∈ V: λ·(v+w) = λ·v+λ·w.
((S3) und (S4) sind die Distributivgesetze der Skalarmultiplikation.)
Schreibweise. Wir werden wieder einfach von einem ”
Vektorraum V“ anstatt
von einem ”
Vektorraum (V,+,·)“ sprechen.
Vereinbarung. Für das Folgende wird ein Körper K fixiert.
Beispiel III.1.2. i) Nach Übung I.2.10 ist K n ein K-Vektorraum. Im Hinblick auf
Anwendungen bei linearen Gleichungssystemen ist er die Hauptmotivation für
die obige Definition. Es wird sich aber zeigen, dass die Struktur eines Vektorraums
auch in vielenanderen Zusammenhängennatürlichin Erscheinungtritt
und daher wieder in voller Allgemeinheit untersucht werden sollte.
ii) Es seien A eine Menge und Abb(A,K) die Menge aller Abbildungen von A
in den Körper K. Für zwei Abbildungen f,g ∈ Abb(A,K) definieren wir
f+g: A −→ K
x ↦−→ f(x)+g(x).
Für ein Element λ ∈ K und eine Abbildung f ∈ Abb(A,K) definieren wir
λ·f: A −→ K
x ↦−→ λ·f(x).
Mit diesen Operationen wird Abb(A,K) zu einem K-Vektorraum (s. Aufgabe
III.1.8). Die Axiome sind einfache Folgerungen aus den Gesetzmäßigkeiten im
Körper K. Um z.B. zu überprüfen, dass für alle λ ∈ K und alle f,g ∈ Abb(A,K)
λ·(f+g) = λ·f+λ·g
gilt, müssen wir nach Bemerkung II.1.17, i),
∀x ∈ A : λ·(f(x)+g(x)) = λ·f(x)+λ·g(x)
nachweisen. Dies ist aber offensichtlich eine direkte Konsequenz aus dem Distributivgesetz
im Körper K.
Dieses Beispiel können wir spezialisieren. Für die Menge A := {1,...,m} ×
{1,...,n} schreiben wir
f: A −→ K
(i,j) ↦−→ a ij
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