Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
Folgerung III.4.15. Für jede Matrix A ∈ Mat(m,n;K) gilt
Z-Rg(A)+Dim K
(
L(A,0)
)
= n.
Bemerkung III.4.16. Mit dem Zeilenrang haben wir die in Problem I.4.6, i), gesuchte
Invariante gefunden.
Beispiel III.4.13 suggeriert das folgende
Problem III.4.17. Gilt S-Rg(A) = Z-Rg(A) für jede Matrix A?
Die Frage lautet also, ob Zeilenumformungen den Spaltenrang einer Matrix
ändern können. Sie lässt sich elegant mit Hilfe der Theorie linearer Abbildungen
beantworten, der wir uns im nächsten Abschnitt widmen möchten.
Aufgabe III.4.18.
Bestimmen Sie die Dimension der linearen Hülle der folgenden Zeilenvektoren
im ZK 4 :
v 1 := (1,−3,7,−1), v 2 := (2,0,−4,3), v 3 := (2,6,−22,8) und v 4 := (3,3,−15,7).
Aufgabe III.4.19.
Geben Sie eine Basis für Abb ′ (N,K) (s. Aufgabe II.3.6, b) an.
Aufgabe III.4.20.
Gegeben seien zwei endlichdimensionaleK-VektorräumeV und W der Dimension
m bzw. n. Welche Dimension hat der Vektorraum V⊕W aus Aufgabe III.1.9?
Aufgabe III.4.21.
Zeigen Sie: Es seien A, A ′ ∈ Mat(m,n;K). Dabei gehe A ′ aus A durch eine Folge
von Zeilenoperationen vom Typ (ZI)-(ZIII) (bzw. Spaltenoperationen vom Typ
(SI)-(SIII)) hervor. Dann folgt
Z-Rg(A ′ ) = Z-Rg(A)
(
bzw. S-Rg(A ′ ) = S-Rg(A) ) .
III.5 Lineare Abbildungen
Vektorräume sind Mengen, die mit den Zusatzstrukturen ”
Addition“ und ”
Skalarmultiplikation“
ausgestattet sind. Die Theorie der Vektorräume wird durch
diejenigenAbbildungen,die dieseZusatzstrukturenrespektieren,entscheidend
bereichert.
Definition III.5.1. Es seien V und W zwei K-Vektorräume. Eine Abbildung
f: V −→ W ist eine lineare Abbildung oder ein (Vektorraum-)Homomorphismus,
wenn sie folgende Eigenschaften aufweist:
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• ∀λ ∈ K∀v ∈ V: f(λ·v) = λ·f(v),