Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

III.4. Basen
Da κ v0 ≠ 0, zeigt dies, dass B ′ linear abhängig ist.
Wir kommen nun zum Beweis von ”
iii)=⇒ii)“. Als erstes wird nachgewiesen,
dass B ein Erzeugendensystem ist. Wenn das nicht so wäre, dann gäbe es ein
Element v 0 ∈ V \〈B〉. Wir behaupten, dass in diesem Fall die Menge B ′ := B∪{v 0 }
immer noch linear unabhängig wäre. Dies stünde aber im Widerspruch zu der
Maximalität von B. Betrachten wir also eine Relation
λ 0 ·v 0 + ∑ b∈Bλ b ·b = 0. (III.4)
Wenn λ 0 = 0 ist, dann gilt ∑ b∈Bλ b · b = 0 und daher λ b = 0 für alle b ∈ B, denn B
ist linear unabhängig. Falls λ 0 ≠ 0, dann ergibt (III.4)
v 0 = ∑ b∈B
(−λ −1
0
·λ b )·b,
d.h. v 0 ∈ 〈B〉. Das steht im Widerspruch zu unserer Annahme, so dass B ′ in der
Tat linear unabhängig ist.
Es bleibt noch zu überprüfen, dass B ein minimales Erzeugendensystem
ist. Es sei andernfalls B ′ B eine Teilmenge, die noch erzeugend ist. Es sei
v 0 ∈ B\B ′ . Da B ′ erzeugend ist, gibt es Zahlen λ b ∈ K, b ∈ B ′ , fast alle null, so
dass
v 0 = ∑ b∈B ′ λ b ·b.
Definieren wir für b ∈ B
dann erhalten wir
⎧
⎨
κ b :=
⎩
−1, b = v 0
λ b , b ∈ B ′
0, sonst
∑
κ b ·b = v 0 −v 0 = 0.
b∈B
Dies widerspricht der linearen Unabhängigkeit von B.
Zu guter Letzt wird ii)=⇒i)“ gezeigt. Offenbar ist B ein Erzeugendensystem.
”
Wir betrachten eine Relation ∑
λ b ·b = 0.
b∈B
Es sei v 0 ∈ B, so dass λ v0 ≠ 0. Dann gilt also
v 0 = ∑
(−λ −1
v 0 ·λ b )·b,
b∈B\{v 0 }
d.h. v 0 ∈ 〈B\{v 0 }〉 und damit B ⊆ 〈B\{v 0 }〉 und schließlich
,
〈B〉 ⊆ 〈B\{v 0 }〉 V.
(III.5)
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