Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
Definition III.5.13. Es sei I eine Menge. Das Kronecker 7 -Delta auf der Menge I
ist die Abbildung
δ: I×I −→ {0,1}
(i,j) ↦−→ δ ij :=
{
1, i = j
0, i ≠ j
Bemerkung III.5.14. Wir können {0,1} als Teilmenge des Körpers K auffassen
und somit δ als Abbildung von I nach K.
Beispiel III.5.15. i) Es sei n ≥ 1 eine natürliche Zahl. Das Kronecker-Delta auf
der Menge I = {1,...,n} ist die sogenannte Einheitsmatrix E n ∈ Mat(n;K);
⎛ ⎞
1
⎜ 0 ⎟
E n = ⎝ ⎠.
1
Wir haben f En = Id K n.
ii) Für
gilt
Satz III.5.16. Es gilt
Beweis. Es sei
A =
⎛
⎜
⎝
0
1 −1 0 2
2 1 3 −1
1 1 0 1
−1 3 −1 −1
⎛
f A
⎜
⎝
1
2
−2
1
⎞ ⎛
⎟
⎠ = ⎜
⎝
⎞
⎟
⎠ ∈ Mat(4;R)
1
−3
4
6
⎞
⎟
⎠ .
Dim K
(
Bild(fA ) ) = S-Rg(A).
v j =
⎛
⎜
⎝
⎞
a 1j
⎟
. ⎠ ∈ K m
a mj
die j-te Spalte von A, j = 1,...,n. Die Abbildungsvorschrift zeigt
Mit Eigenschaft III.5.4, iii), finden wir
f A (e j ) = v j , j = 1,...,n.
f A (K n ) = f A
(
〈e1 ,...,e n 〉 ) = 〈 f(e 1 ),...,f(e n ) 〉 = 〈v 1 ,...,v n 〉.
.
(III.6)
Die Dimension des rechten Vektorraums ist nach Definition III.4.12, ii), der
Spaltenrang von A.
7 Leopold Kronecker (1823 - 1891), deutscher Mathematiker.
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