Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
Wir beweisen die Gültigkeit von A(n) für alle n ∈ N durch vollständige Induktion.
Für n = 0 muss F = ∅ gelten, und wir können ˜B = B wählen. Offenbar
ist dann B ′ = B ∪ ∅ = B eine Basis mit m Elementen. Jetzt schließen wir von
A(n) auf A(n+1). Für V, F und B wie in der Annahme suchen wir uns ein Element
v 0 ∈ F aus und setzen F ′ := F\{v 0 }. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es
eine Teilmenge B ⊆ B mit m−n Elementen, so dass B ′′ = B∪F ′ eine Basis von V
mit m Elementen ist. Da F linear unabhängig ist, gilt v 0 ∉ 〈F ′ 〉. Schreiben wir
v 0 = ∑ b∈Bλ b ·b,
dann existiert folglich ein Element b 0 ∈ B mit λ b0 ≠ 0. Nach dem Austauschlemma
III.4.9 ist
B ′ := (B\{b 0 })∪F ′ ∪{v
} {{ } 0 } = ˜B∪F
=:˜B
eine Basis für V. Offenbar gilt #˜B = #B−1 = m−n−1 = m−(n+1), und wegen
˜B∩F = ∅ gilt #B ′ = #˜B+#F = m.
Nun können wir i) beweisen. Die linear unabhängige Teilmenge F habe mindestens
m + 1 Elemente. Daher können wir eine Teilmenge F ′ F mit genau
m Elementen auswählen. Aus A(m) folgt, dass F ′ eine Basis ist. Nach Satz
III.4.4 ist F ′ eine maximale linear unabhängige Teilmenge. Daher muss F linear
abhängig sein, im Widerspruch zur Annahme. Teil ii) folgt schließlich aus
i) und A(n), n := #F.
Beweis von Satz III.4.6. Es seien B und B ′ zwei Basen von V. Da B ′ eine linear
unabhängige Teilmenge von V ist, impliziert Satz III.4.10, i), #B ′ ≤ #B. Ebenso
können wir die Basis B ′ zu Grundelegen und #B ≤ #B ′ für die linear unabhängige
Teilmenge B schließen.
Folgerung III.4.11. EsseienV einendlichdimensionalerK-VektorraumundW ⊆
V ein Unterraum. Dann ist auch W endlichdimensional mit Dim K (W) ≤ Dim K (V).
Beweis. Nach Satz III.4.10, i), hat jede linear unabhängige Teilmenge von W
höchstens Dim K (V) Elemente. Es sei F ⊆ W eine linear unabhängige Teilmenge
mit der maximalen Anzahl von Elementen. Dann ist F offenkundig eine maximale
linear unabhängige Teilmenge von W und somit eine Basis. Also ist W
endlichdimensional und Dim K (W) = #F ≤ Dim K (V).
Zeilen- und Spaltenrang von Matrizen. — Mit Hilfe des Dimensionsbegriffs
können wir nun die in Problem I.4.6, i), gesuchte Invariante von Matrizen erklären.
72