Vorkurs Informatik

214 12 Asymptotische Aufwandsanalyse
Operationen werden in Form von Elementaroperationen gezählt. Elementaroperationen (EO)
sind die Wertzuweisungen, Vergleiche, arithmetische Operationen und die Rückgabe des Werts
einer Variablen. In der ersten Spalte der Tabelle ist der Algorithmus aufgeführt. Die zweite Spalte
zeigt den Zeitaufwand pro Zeile. Die Anweisung i := i + 1 wird mit zwei Elementaroperationen
gezählt: der Addition für die Erhöhung von i um 1 und die Wertzuweisung.
In der dritten Spalte der Tabelle ist die Anzahl der Durchläufe der einzelnen Operationen aufgeführt.
Offensichtlich werden die ersten beiden Anweisungen nur ein Mal durchgeführt. Das
Gleiche gilt für die letzte Anweisung, die Rückgabe von merker. Die Anzahl der Durchführungen
der solange-Schleife hängt von der Länge n der Eingabefolge ab. Der Rumpf der Schleife
wird (n − 1)-mal ausgeführt. Die Durchführung der Zeile solange i < n erfolgt hingegen n-mal,
da hier ein weiterer Test durchgeführt wird, der den Abbruch der Schleife bewirkt.
Schwierigkeiten bereitet es, für die Wertzuweisung im dann-Teil der bedingten Anweisung, merker
:= a i , die Anzahl der Durchläufe abzuschätzen. Hier kann es passieren, dass diese Anweisung
überhaupt nicht ausgeführt wird. Das ist dann der Fall, wenn a 0 das kleinste Element der Folge
ist. Andererseits kann es passieren, dass die Anweisung bei jedem Schleifendurchlauf ausgeführt
wird. Dies geschieht, wenn die Eingabefolge fallend angeordnet ist. Die Anzahl der Durchläufe
kann damit zwischen 0 und n − 1 liegen.
Das Zusammenzählen der Elementaroperationen aus der Tabelle zeigt, dass im günstigsten Fall
T min (n)=4n Elementaroperationen benötigt werden, während im ungünstigsten Fall T max (n)=
5n − 1 Elementaroperationen ausgeführt werden.
Wir wollen dies nun verallgemeinern. Sei A(e) der Aufwand des zu analysierenden Algorithmus
bei der Eingabe e ∈ E, wobei E die Menge aller Eingaben des Algorithmus umfasst. A(e) kann
dabei für den Zeitaufwand, aber beispielsweise auch für den Speicheraufwand stehen.
Da davon auszugehen ist, dass der Aufwand mit wachsender Größe der Eingabe wächst, ist
es zweckmäßig, den Aufwand abhängig von der Eingabegröße zu analysieren. Die Eingabegröße
wird in der Anzahl der Elementardateneinheiten gemessen. So besteht die Eingabe
a 0 ,a 1 ,...,a n−1 des Minimumsuche-Algorithmus aus n Zahlen, die als Elementardateneinheiten
verstanden werden. Die Länge der Eingabe ist in diesem Fall also n.
Sei E n die Menge aller Eingaben der Länge n, d.h.
E n := {e in E | die Größe von e ist n}.
Der maximale Aufwand A max (n), auch als Aufwand im schlechtesten Fall oder worst-case-
Aufwand bezeichnet, ist der größte Aufwand, der bei einer Eingabe e der Länge n auftreten
kann, d.h.
A max (n):= max { A(e) | e in E n }.
Entsprechend ist der minimale Aufwand A min (n) der Aufwand A(e) einer Eingabe e mit kleinstem
Aufwand:
A min (n):= min { A(e) | e in E n }.
Für den Zeitaufwand wird anstelle von A häufig T, für den Speicheraufwand S geschrieben.