Vorkurs Informatik

18.6 Endlicher Automat 299
L = {ab,abab,ababab,...}
G = {N,T,P,S} mit T = {a,b}, N = {X,B,S}, P = {S → aB,S → aX,X → bS,B → b}
S ⇒ aX ⇒ abS ⇒ abaB ⇒ abab
Abbildung 18.11: Eine Grammatik für die Sprache, die von dem endlichen Automaten in Abbildung 18.10
akzeptiert wird und eine Ableitung des Wortes abab.
übergeht. Dieser Zustandsübergang geschieht nach vorgegebenen Regeln, die den Automaten
festlegen. Dabei ist es zulässig, dass eine Regel angibt, dass der Zustand nicht geändert werden
soll.
Zur Beschreibung der Regeln eines endlichen Automaten hat sich das Zustandsübergangsdiagramm
eingebürgert. Abbildung 18.10 zeigt ein solches Diagramm. Das Diagramm ist ein
Graph, der für jeden möglichen Zustand einen Knoten enthält. In dem Beispiel aus Abbildung
18.10 gibt es vier Zustände, z 0 ,z 1 ,z 2 und z 3 , die jeweils durch einen kreisförmigen Knoten repräsentiert
werden. Die gerichteten Kanten, die als Pfeile eingezeichnet sind, geben die möglichen
Zustandswechsel an. An jeder Kante ist ein Buchstabe angebracht. Dieser Buchstabe entspricht
einem Eingabezeichen. Befindet sich beispielsweise der Automat im Zustand z 0 und kommt als
nächstes Eingabezeichen a an, geht er entsprechend des a-markierten Pfeils, der von z 0 ausgeht,
in den Zustand z 1 über. Sieht er im Zustand z 0 ein b als nächstes Eingabezeichen, folgt er der
Kante, die mit b markiert ist, die dann zum Zustand z 3 führt. Tritt im Zustand z 3 ein b als Eingabezeichen
auf, zeigt die von z 3 ausgehende Kante mit Markierung b wiederum auf z 3 , sodass der
Automat im Zustand z 3 bleibt.
Der Pfeil links oben, der auf z 0 zeigt, aber keinen Startknoten hat, markiert den Startzustand des
Automaten. Die Abarbeitung eines neuen Eingabewortes beginnt stets in diesem Startzustand,
hier z 0 . Die Endzustände eines Automaten sind durch doppelte Kreise markiert. In dem Beispiel-
Automaten gibt es nur einen Endzustand, nämlich den Zustand z 2 . Falls sich der Automat nach
Abarbeitung des letzten Zeichens in einem Endzustand befindet, wird das Eingabewort akzeptiert,
sonst nicht.
Betrachten wir beispielsweise das Eingabewort abab. Vom Zustand z 0 führt das erste Zeichen a
auf den Zustand z 1 . Das zweite Zeichen b führt von z 1 auf z 2 . Das darauf folgende a führt zu z 1
und das letzte Zeichen b schließlich zu z 2 .Daz 2 ein Endzustand ist, wird das Wort abab akzeptiert.
Wie in Abbildung 18.10 gezeigt, wird eine Ableitung durch die Folge von Zuständen dargestellt,
wobei der Zustandsübergang durch Doppelpfeile markiert ist, die mit dem entsprechenden
Eingabebuchstaben versehen sind. Die von einem Automaten akzeptierte Sprache besteht aus allen
Eingabeworten, deren Ableitung auf einen Endzustand führt. Die Sprache des Automaten in
Abbildung 18.10 besteht aus allen Worten, die Folgen aus ab enthalten, also ab,abab,ababab,....
In formaler Definition wird ein endlicher Automat durch ein 5-Tupel M =(Z,T,δ,z 0 ,E) beschrieben.
Dabei bezeichnet Z eine endliche Menge von Zuständen und T ein endliches Eingabealphabet.
δ ist eine Überführungsfunktion, die einem Paar aus Zustand z und Eingabezeichen
a einen neuen Zustand z ′ = δ(z,a) zuordnet. Die Überführungsfunktion ist in unserem
Beispiel durch das Zustandsübergangsdiagramm gegeben. Abbildung 18.10 zeigt die ent-