Vorkurs Informatik

14.4 Mengenverwaltung mit ausgeglichenem binären Suchbaum 249
1 Algorithmus suche(s, aktuellerKnoten)
2 {
3 Wenn aktuellerKnoten ein Blatt ist, dann gib ’’nein’’ zurueck;
4 sonst
5 {
6 Wenn s = Wert von aktuellerKnoten, dann gib ’’ja’’ zurueck;
7 sonst
8 {
9 Wenn s < Wert von aktuellerKnoten, dann
10 suche(s, linkerNachfahr);
11 sonst suche(s, rechterNachfahr);
12 }
13 }
14 }
Pseudocode 14.6: Algorithmus „suche“ für einen binären Suchbaum
Ausgeglichener binärer Suchbaum Unsortiertes Array Sortiertes Array
Suchen: T(n)=O(log n) T(n)=O(n) T(n)=O(log n)
Einfügen: T(n)=O(log n) T(n)=O(n) T(n)=O(n)
Entfernen: T(n)=O(log n) T(n)=O(n) T(n)=O(n)
Abbildung 14.9: Vergleich des Zeitaufwands von Algorithmen für ausgeglichene binäre Suchbäume, unsortierte
Arrays und sortierte Arrays
wird, das keinen Wert enthält. Für unseren Beispielbaum würde dieser Fall z.B. für einen Aufruf
suche(12, Wurzel) eintreten.
Es kann gezeigt werden, dass die Suche in einem ausgeglichenen binären Suchbaum nach Definition
14.4 in T(n)=O(log n), n die Anzahl der Knoten im Baum, durchgeführt werden kann.
Anschaulich kann dies aufgrund der Ähnlichkeit zur binären Suche nachvollzogen werden. Während
bei der binären Suche das Auffinden der Zahlen, die zu vergleichen sind, durch Indexrechnung
erfolgt, geschieht es hier aufgrund der Struktur des Baums. Ein wesentlicher Vorteil des
Konzeptes der binären Suchbäume ist, dass es eine Reihe von Klassen für ausgeglichene binäre
Suchbäume gibt, für die Algorithmen existieren, die auch das Einfügen und Entfernen, anders
als beim sortierten Array, in O(log n) Zeit erlauben 1 . Ein Grund dafür ist, dass das Einfügen
und Entfernen durch das Umhängen von Referenzen realisiert werden kann, was das aufwendige
Verschieben von Daten, wie es beim Array der Fall ist, vermeidet.
Abbildung 14.9 fasst diese Zeitaufwände im Vergleich mit denen für unsortierte und sortierte
Arrays zusammen. Es zeigt sich, dass geeignet definierte ausgeglichene binäre Suchbäume das
beste Verhalten für alle drei Operationen im schlechtesten Fall aufweisen.
1 I. Wegener, Effiziente Algorithmen für grundlegende Funktionen, Teubner, 2. Auflage, 1996