Vorkurs Informatik

13.2 Sortieren durch Mischen (1) 221
Bezüglich der Speicheraufwandsanalyse ist zu beachten, dass sich der Speicherbedarf noch erhöhen
kann, wenn in einer Java-Implementierung restfolge und ergebnisfolge jeweils durch ein
Array realisiert wird. Die Länge eines Arrays muss bei seiner Deklaration auf den maximal zu
erwartenden Umfang festgelegt werden, in unserem Fall also jeweils n für restfolge und ergebnisfolge.
In einer derartigen Implementierung wird sich also ein Speicherbedarf von S(n)=(3n+c)
Dateneinheiten ergeben, jeweils n für gegebenefolge, restfolge und ergebnisfolge. Diese Beobachtung
zeigt, dass die Ausdrucksmöglichkeiten einer Programmiersprache Auswirkungen auf
die Effizienz haben können.
In Kapitel 5.1 gab es auch noch eine Lösung ohne Hilfsmengen, siehe Abschnitt 5.1.2. Die Datenstruktur
gegebenefolge wird dort schrittweise so verändert, dass sie am Ende das Ergebnis
enthält. Diese Lösung benötigt nur S(n)=(n + d) Elementardateneinheiten, wobei d eine von n
unabhängige Konstante ist, die wiederum für Hilfsvariablen eingesetzt wird.
Vergleichen wir den Speicherbedarf S(n)=(2n + c) der ersten Lösung mit dem Speicherbedarf
S(n) =(n + d) der zweiten Lösung, dann erkennen wir, dass er in beiden Fällen asymptotisch
von der Ordnung O(n) ist. Trotzdem unterscheidet er sich etwa um Faktor 2, was für praktische
Anwendungen durchaus relevant sein kann. Hinzu kommt, dass die geschilderte Problematik bei
einer Implementierung mit Arrays bei der zweiten Lösung nicht auftritt. Dies ist ein Beispiel
dafür, dass es auch lohnend sein kann, den Aufwand genau und nicht nur asymptotisch zu analysieren.
13.2 Sortieren durch Mischen (1)
Wir wollen nun den Zeitaufwand des Verfahrens „Sortieren durch Mischen“ analysieren. Beginnen
wir mit dem schon bekannten Algorithmus mischen.
Abbildung 13.2 zeigt den Algorithmus mischen, ergänzt durch Angaben zur Zeitaufwandsanalyse.
Seien n 1 beziehungsweise n 2 die Länge der folge1 beziehungsweise folge2. n = n 1 + n 2
bezeichnet die Länge der Ergebnisfolge. Offensichtlich benötigen die ersten zwei Anweisungen
des Algorithmus mischen nur konstant viele Operationen, sodass sie mit O(1) abgeschätzt
werden können.
Die solange-Schleife wird dann verlassen, wenn eine der beiden Folgen folge1 oder folge2 leer
ist. Da in jedem Durchlauf des Rumpfs der Schleife entweder folge1 oder folge2 um ein Element
verkürzt wird, geschieht dies spätestens dann, wenn beide Folgen leer sind, also nach spätestens
n = n 1 + n 2 Schritten. Das bedeutet, dass die Bedingung der Schleife höchstens n-mal durchlaufen
wird, was mit O(n) abgeschätzt werden kann.
Die Schleife kann unter Umständen auch nach weniger Schritten verlassen werden, etwa dann,
wenn aufgrund der Eingabewerte immer nur Elemente aus folge1, nie aber welche aus folge2
entfernt werden. In diesem Fall würde die Schleife schon nach n 1 Durchläufen beendet. Da wir
jedoch den Zeitbedarf im schlechtesten Fall abschätzen möchten, ist dieser günstigere Fall nicht
relevant.
Der Rumpf der Schleife besteht aus einer bedingten Anweisung. Die Ausführung der Bedingung
benötigt nur konstant viele Operationen und wird daher mit O(1) abgeschätzt. Unabhängig von
dem Ausgang der Bedingung wird ein Element an die Ergebnisfolge folge angefügt und aus einer