Vorkurs Informatik

18.2 Formale Sprachen und Grammatiken 287
Grammatik G =(N,T,P,E):
Alphabet: T = {a,+,∗,(,)}
Hilfszeichenmenge: N = {E,T,F}
Startsymbol: E
Produktionsregeln: P = { E → T, E → E + T, T → F, T → T ∗ F, F → a, F → (E) }
Beispiel: Ableitung von a ∗ (a + a)+a:
E ⇒ E + T ⇒ T + T ⇒ T ∗ F + T ⇒ F ∗ F + T ⇒ a ∗ F + T ⇒ a ∗ (E)+T
⇒ a ∗ (E + T)+T ⇒ a ∗ (T + T)+T ⇒ a ∗ (F + T)+T ⇒ a ∗ (a + T)+T
⇒ a ∗ (a + F)+T ⇒ a ∗ (a + a)+T ⇒ a ∗ (a + a)+F
⇒ a ∗ (a + a)+a
Abbildung 18.2: Beispiel für eine Sprache aus geklammerten arithmetischen Ausdrücken
Eine Grammatik G ist durch vier Bestandteile gegeben. Der erste Bestandteil ist die Menge N der
Hilfszeichen. Gebräuchlich sind hierfür auch die Begriffe „Nichtterminale“, „Nichtendzeichen“
und „Variablenzeichen“. Im letzten Beispiel war dies die Menge N aus den Zeichen E,T,F.
Des Weiteren gibt es die endliche Menge T der Endzeichen, auch „Terminale“ genannt. Das
sind die Zeichen, die tatsächlich in den Worten der Sprache auftreten, im letzten Beispiel also
die Zeichen a,+,∗,(,).
Der dritte Bestandteil ist die Menge P der Produktionsregeln. Dies sind die Grammatikregeln
der Sprache. Eine Produktionsregel setzt sich aus zwei Zeichenfolgen, y und y ′ , zusammen,
zwischen denen ein → steht. In unserem bisherigen Beispiel bestand das Wort y stets aus einem
Zeichen, während y ′ auch mehrere Zeichen enthalten konnte. Ein Beispiel ist die Produktionsregel
E → E + T, indery = E und y ′ = E + T ist. Diese Einschränkung ist nicht unbedingt
notwendig. Hinzu kommt, dass es auch erlaubt ist, dass y ′ aus gar keinem Zeichen besteht, d.h.
das sogenannte leere Wort ist, wofür häufig das Symbol λ (Lambda) geschrieben wird. Eine
typische Regel könnte S → λ lauten. Dies würde bedeuten, dass S bei der Ableitung von Worten
aus dem gegebenen Wort eliminiert wird, indem es durch das leere Wort ersetzt wird.
Auf Grundlage einer Grammatik kann der Begriff der Ableitung von Worten definiert werden.
Die unmittelbare Ableitung eines Wortes v aus einem Wort u ergibt sich durch Anwendung
einer Grammatikregel auf das Wort u. Ist y → y ′ die entsprechende Produktionsregel, und hat u
die Form xyz, dann kann y durch y ′ ersetzt werden, woraus das Wort v gleich xy ′ z resultiert. Man
sagt, dass u unmittelbar in v übergeht. Die Schreibweise ist u ⇒ v. Durch mehrfaches Anwenden
unmittelbarer Ableitungen ergibt sich die Ableitung eines Wortes v aus u, d.h. u ⇒ ∗ v, das für
„u geht in v über“ oder „v wird aus u abgeleitet“ steht. Formaler ausgedrückt bedeutet dies,
dass es eine Folge w 1 ,...,w n von Worten mit u = w 1 und v = w n gibt, sodass w i ⇒ w i+1 für
i = 1,...,n − 1 ist.
Die von einer Grammatik G erzeugte oder definierte Sprache L(G) ist die Menge aller Worte
w aus Zeichen aus T, die aus dem durch die Grammatik gegebenen Startsymbol der Sprache
ableitbar sind oder formal dargestellt: L(G) ={w | S ⇒ ∗ w, w enthält nur Endzeichen oder ist das
leere Wort}.