Vorkurs Informatik

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Induktionsschritt: (Fortsetzung...)
n ungerade:
Aufgrund der Induktionsannahme gilt
T((n − 1)/2) < c · ((n − 1)/2) · (1 + log((n − 1)/2)),
T((n + 1)/2) < c · ((n + 1)/2) · (1 + log((n + 1)/2)).
Mit T(n)=T((n − 1)/2)+T((n + 1)/2)+O(n) für n > 1 folgt damit
T(n) < T((n − 1)/2)+T((n + 1)/2)+c 2 n
=
↑
c((n − 1)/2)(1 + log((n − 1)/2)) + c((n + 1)/2)(1 + log((n + 1)/2)) + c 2 n
Induktionsannahme
=
↑
c(n/2)(log(n + 1)+log(n − 1)) + c(log(n + 1) − log(n − 1))/2 + c 2 n
Umformung
<
↑
c(n/2)(log(n 2 − 1)+(log((n + 1)/(n − 1)))/2 + c 2 n)
Umformung
<
↑
cn(1 + logn).
für c > 2c 2
Dabei wird genutzt, dass der Ausdruck (log((n + 1)/(n − 1)))/2 monoton fallend ist. Sein
Wert für n ≥ 3 kann also von oben durch den Wert 1/2 für n = 3 abgeschätzt werden.
Für c > max{c 1 ,2c 2 ) gilt damit die Behauptung.
Aufgabe 13.3:
Zeigen Sie, dass es eine Konstante c > 0 gibt, sodass T(n) < c · n für n ≥ 1 für die Lösung der Rekurrenzgleichung
T(n)=T(n − 1)+O(1), T(1)=c 1 , gilt.
13.5 Einige Bemerkungen zum Sortierproblem
Wir haben nun gezeigt, dass das Verfahren des Sortierens durch Mischen asymptotisch schneller
ist als das Sortierverfahren durch Minimumsuche. Abbildung 13.6 zeigt die praktische Auswirkung
der besseren Wachstumsordnung des Sortierens durch Mischen. Wir nehmen an, dass
eine Elementaroperation in einer Nanosekunde, d.h. 10 −9 Sekunden ausgeführt werden kann.
Die Tabelle zeigt drei Beispiele für n und entsprechende Rechenzeiten, wenn n 2 beziehungsn
n 2 n logn
100 000 = 10 5 10 Sek. < 2 · 10 −3 Sek.
1 000 000 = 10 6 1 000 Sek. < 24 · 10 −3 Sek.
5 000 000 = 5 · 10 6 25 000 Sek. < 24 · 10 −3 Sek.
Abbildung 13.6: Zeitbedarf bei Eingabegröße n für Wachstumsordnungen n 2 und n logn unter der Annahme
von 1 Nanosekunde = 10 −9 Sekunden Ausführungszeit für eine Elementaroperation