Vorkurs Informatik

14.4 Mengenverwaltung mit ausgeglichenem binären Suchbaum 247
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Abbildung 14.8: Gliederung eines binären Suchbaums in seine Teilbäume
längs einer gerichteten Folge von Kanten, einem sogenannten Pfad, sind. Als Blatt eines binären
Baums wird ein Knoten ohne Auswärtskanten bezeichnet. Innere Knoten eines binären Baums
sind Knoten, die kein Blatt sind. Die Blätter des Baums in Abbildung 14.5 sind durch die dicken
Punkte angedeutet.
Für die Effizienz der Suche in einem binären Baum zu einer endlichen Menge S ist von Bedeutung,
wie ausgeglichen der Baum ist. Eine mögliche (informelle) Definition von Ausgeglichenheit
ist die Folgende: Ein binärer Baum ist genau dann ausgeglichen, wenn für jeden inneren
Knoten des Baums gilt, dass die beiden Teilbäume, die von seinen Nachfolgern gebildet werden,
etwa gleich viele Knoten enthalten. Diese Art der Ausgeglichenheit kann auch als Knotenausgeglichenheit
bezeichnet werden. Man kann sich überlegen, dass es aufgrund der Gültigkeit der
Bedingung für jeden inneren Knoten nicht passieren kann, dass der Baum stark unausgeglichen
wird, d.h. degeneriert.
Mithilfe von binären Bäumen lassen sich nun der Begriff des binären Suchbaums und des ausgeglichenen
binären Suchbaums allgemein definieren. Ein binärer Suchbaum zu einer endlichen
Menge S von Zahlen ist ein binärer Baum, dessen innere Knoten mit allen Zahlen aus S markiert
sind, sodass
• es für jede Zahl genau einen Knoten gibt
• die Zahlen, die den Knoten im linken Teilbaum eines Knotens zugewiesen sind, kleiner als die
Zahl sind, die dem Knoten selbst zugewiesen ist
• die Zahlen, die den Knoten im rechten Teilbaum eines Knotens zugewiesen sind, nicht kleiner
als die Zahl sind, die dem Knoten selbst zugewiesen ist.
Ein ausgeglichener binärer Suchbaum ist ein spezieller binärer Suchbaum, der gleichzeitig die
Eigenschaften eines ausgeglichenen binären Baums aufweist.