Beispiele mechatronischer Systeme

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9 Beispiele mechatronischer Systeme
standsschätzer erforderlich ist. In diesem Beispiel wird dazu ein EKF verwendet, dessen Algorithmus
in Bild 4.34 prinzipiell vorgestellt ist, wenn man hier für die Prädiktion von Zustand
und Ausgangsgröße einfach die nichtlinearen Modelle f (.) und h(.) verwendet. Zentraler Gedanke
des EKF ist die Verwendung der Linearisierungen A und C für die Prädiktion der Kovarianzmatrix
des Schätzfehlers. Diese werden durch Differenzieren nach dem Zustandsvektor
gebildet (vgl. Abschnitt 4.2.4)
A(x,u)= ∂ f (x,u) , C (x)= ∂h(x)
∂x
∂x . (9.28)
Durch die gewählte Formulierung der Zustandsraumdarstellung ist nur die dritte Zeile der JA-
COBI-Matrix (hier linearisierte Systemmatrix A) voll besetzt
mit
⎡
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
A=
A 31 A 32 A 33 A 34 A 35 A 36 A 37
⎢ 0 0 0 0 0 0 0
⎣
.
.
.
.
.
.
.
⎤
, (9.29)
⎥
⎦
C = [ 1,0,0,0,... ] (9.30)
A 31 =− c FR M
J R L M
, (9.31)
A 32 =− K M 2 ü 2 G + c FL M
J R L M
A 33 =− M Rb
J R
−
M R bR M
J R L M cosh ( b ˙ϕ ) 2 + 2L MM R b 2 sinh ( b ˙ϕ )
J R L M cosh ( b ˙ϕ ) ¨ϕ, (9.32)
3
(
1−tanh
2 ( b ˙ϕ )) − R M
L M
, (9.33)
A 34 = K Mü G
J R L M
, (9.34)
A 35 =− ¨ϕ
L M
− c F
J R L M
ϕ− M R
J R L M
tanh ( b ˙ϕ ) , (9.35)
A 36 = üG
J R L M
(u+ z)− 2K Mü 2 G
J R L M
˙ϕ, (9.36)
A 37 =− b J R
(
1−tanh
2 ( b ˙ϕ )) ¨ϕ− R M
J R L M
tanh ( b ˙ϕ ) . (9.37)
Die Berechnung des EKF-Algorithmus erfolgt sowohl in der Simulation als auch auf realer Testhardware
zu diskreten Zeitpunkten t = k T 0 mit k = 0, ..., n. Eine analytische Integration ist in
den meisten Fällen nicht realisierbar. Aus diesem Grund werden numerische Integrationsverfahren
verwendet, in diesem Fall die Rechteckintegration nach EULER-CAUCHY, die trotz ihrer
geringeren Genauigkeit in den meisten Fällen ausreichend ist und vor allem wegen ihrer
einfachen Implementierbarkeit häufig Anwendung findet [Ada14]. Die Prädiktion der neuen
Zustandschätzung ergibt sich aus
ˆx k+1 = ˆx k + T 0 f (ˆx k , u k ). (9.38)