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Beispiele mechatronischer Systeme

lx 9

lx 9 Beispiele mechatronischer Systeme Gl. (9.83) Unterlagerter Regler ’Präzessionsbewegung’ (result. PT 1 -Verhalten) Gl. (9.82) Gyroskope ϕ P ,ω P = ˙ϕ P τ Gyro Inverses Pendel Gl. (9.84) ω soll P Soll-Drehrate (Präzession) Zustandsregler Gl. (9.90) 4. Ordnung ψ, ˙ψ Nickwinkel, -rate Bild 9.53 Regelkreisstruktur für Stabilisierung mit TwinGyro g ψ J P m P l P Bild 9.54 Modell des inversen Pendels τ Hierbei stehen d für die geschwindigkeitsabhängige Dämpfung ( ˆ= viskose Reibung), J P für das Massenträgheitsmoment des Pendelsystems, m G für das Gesamtgewicht, g für die Gravitation, l P für die Ersatzpendellänge, ψ für den Winkel, ˙ψ für die Winkelgeschwindigkeit und ¨ψ für die Winkelbeschleunigung des Pendels. Für das Zustandsraummodell wird der folgende Zustandsvektor angesetzt x = [ψ, ˙ψ,ϕ P , ˙ϕ P ] T . Der Pendelwinkel ψ stellt gleichzeitig den Nickwinkel des Systems und ϕ P den Präzessionswinkel der Momentenkreisel dar. Jetzt findet noch eine Linearisierung im Arbeitspunkt x 1AP = x 2AP = x 3AP = x 4AP = 0 gemäß Abschnitt 7.2.2 statt, d. h. die Betrachtung des Kleinsignalverhaltens. Die Linearisierung hat die Approximation sin(ψ)≈ψ und cos(ϕ P )≈1 zur Folge. Damit ergibt sich schließlich ẋ 1 = x 2 , (9.85) ẋ 2 = m G g l P x 1 − d x 2 + 2 J G ω x 4 , (9.86) J P J P J P ẋ 3 = x 4 , (9.87) ẋ 4 =− 1 T 1 x 4 + 1 T 1 ω soll P . (9.88)

9.6 Inertiale Stabilisierung einer Lastkarre mit Momentenkreiseln lxi In Matrixdarstellung lauten die Systembeschreibung mit der Systemmatrix A und dem Steuervektor b ⎡ ⎤ ⎡ ˙ψ ¨ψ ẋ = ⎢ ⎥ ⎣ ˙ϕ P ⎦ = ⎢ ⎣ ¨ϕ P ⎤⎡ ⎤ ⎡ 0 1 0 0 ψ m G g l P J − d 2 J P J 0 G ω P J P ˙ψ ⎥⎢ ⎥+ ⎢ 0 0 0 1 ⎦⎣ϕ P ⎦ ⎣ 0 0 0 − 1 ˙ϕ T P } {{ 1 }} {{ } A x wofür man nun einen Zustandsregler ⎤ 0 0 ⎥ 0 ⎦ 1 T 1 } {{ } b ω soll P }{{} u , (9.89) u= ω soll P =−k T x , (9.90) z. B. per Polzuweisung (Abschnitt 8.3) oder mittels Optimierung eines quadratischen Gütemaßes (Abschnitt 8.4.1) entwerfen kann. Hier ist kein Beobachter erforderlich, da alle Zustände vorliegen. Der Nickwinkel ψ und die Nickrate ˙ψ kommen direkt aus der IMU M6-LT, die ihrerseits intern ein Extended KALMAN-Filter implementiert. Den Präzessionswinkel ϕ P erfasst ein HALL-Encoder mit 14 Bit Auflösung hinreichend genau und die Präzessionsgeschwindigkeit ˙ϕ P folgt aus einer numerischen Differentiation. Bild 9.55 zeigt das Regelverhalten für ψ und ϕ P anhand einer zuvor durchgeführten Matlab ® Simulation. Der Startwert des Pendelwinkels lautet ψ(0) = 15 ◦ π 180 ◦ ≈ 0,25rad. Die am realen System identifizierte Zeitkonstante T 1 beträgt 60 ms, die Abtastzeit wurde zu T 0 = 10 ms und die Drehzahl des Momentenkreisels zu 12000 U/min eingestellt. Am realen System liefert die IMU die Messdaten in einem 4ms-Raster. [rad] ψ [ rad s ] ˙ψ 0,2 0,1 0 linear nicht-linear 0 −0,2 −0,4 linear nicht-linear −0,1 0 [rad] ϕ P 1 2 3 4 t [s] 5 −0,6 0 [ rad 0 ˙ϕ P 1 2 3 4 t [s] 5 s ] t [s] −0,4 −0,8 linear nicht-linear −1 −2 −3 linear nicht-linear 0 1 2 3 4 t [s] 5 −4 0 1 2 3 4 5 Bild 9.55 Regelverhalten bei Stabilisierung mit TwinGyro-Modul

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