Beispiele mechatronischer Systeme

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9 Beispiele mechatronischer Systeme
mit dem in Gl. (9.93) abgeleiteten Moment. Damit ergeben sich die Bewegungsgleichungen
τ G
= (2m W + 2J W
r W r 2 + m P )ẍ+ m P l P cos(ψ) ¨ψ−m P l P sin(ψ) ˙ψ 2 (9.105)
W
−τ G = (J P + m P l 2 P ) ¨ψ+m Pl P cos(ψ)ẍ− m P l P ẋ ˙ψsin(ψ)−m P g l P sin(ψ), (9.106)
in die man nun Gl. (9.93) einsetzt, um eine Abhängigkeit vom Motorstrom i zu erhalten.
Dieses System wird im Arbeitspunkt x 0 = ẋ 0 = ψ 0 = ˙ψ 0 = 0 linearisiert. Nach einer Umstellung
der Terme ergibt sich schließlich die linearisierte Zustandsraumdarstellung mit dem Zustandsvektor
x = [ ψ, ˙ψ, x, ẋ ] T
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
0 1 0 0 0
a 1 0 0 a 4
ẋ = ⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 1 ⎦ x+ b 1
⎢ ⎥i und den folgenden Abkürzungen (9.107)
⎣ 0 ⎦
a 2 0 0 a 3 b 2
β=m P + 2m W + 2 J W
r 2 , (9.108)
W
α= J P β+2m P l 2 P (m W+ J W
r 2 ), (9.109)
W
a 1 = β α m P g l P , (9.110)
a 2 =− m2 P g l 2 P
, (9.111)
α
(
)
2γ 2 ηk f
m P l P + 2γ2 ηk f
r W
r 2 (J P + m P l 2 P ) , (9.112)
W
a 3 =− 1 α
(
a 4 = 1 α
b 1 =− 1 α
b 2 = 1 α
β 2γ2 ηk f
r W
)
+ 2γ2 ηk f
r 2 m P l P , (9.113)
W
(
β2γηk M + 2γη k M
r W
m P l P
)
, (9.114)
(
2γηk M m P l P + 2γη k M
r W
(J P + m P l 2 P ) )
. (9.115)
Für die Systembeschreibung in Gl. (9.107) (Nick- und Längsdynamik) kann man den Regler
z. B. über ein quadratisches Gütemaß entwerfen. Bild 9.57 zeigt die gesamte Regelkreisstruktur
(etwas vereinfacht, nicht alle Abhängigkeiten sind illustriert). Darin zusätzlich beinhaltet
ist die Regelung der Lastkarre um die Hochachse mit einem Zustandsregler zweiter Ordnung.
Dabei wurde angenommen, dass die Dynamik um die Hochachse (Gierwinkel) praktisch entkoppelt
von der Nick- und Längsdynamik ist. Die Herleitung der entsprechenden Systembeschreibung
sei kurz skizziert.