Beispiele mechatronischer Systeme

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9 Beispiele mechatronischer Systeme
Stabilisierung mit den Antriebsrädern
Nun erfolgt die Betrachtung des über die Antriebsräder stabilisierten Systems – es entsteht das
Inverse Pendel auf Rädern, wie es Bild 9.56 darstellt.
Das dynamische Modell eines Antriebssystems war mehrfach Gegenstand der Untersuchung
im Methodenteil, etwa in den Beispielen 7.10 (Modellbildung und -vereinfachung), 8.5 (Kaskadenregelung),
8.8 (Störgrößenbeobachtung) sowie 8.18 und 8.19 (Drehzahlregelung und Implementierung).
Die beschreibende Differentialgleichung für ein Rad (zunächst ohne Getriebe)
lautet
J W ¨θW = τ M − k f ˙θW , (9.91)
wobei hier J W für das Massenträgheitsmoment des Rades, ¨θ W für die Winkelbeschleunigung,
dementsprechend ˙θ W für die Winkelgeschwindigkeit des Rades und k f für die geschwindigkeitsproportionale
(viskose) Dämpfung stehen. Das Antriebsmoment τ M hängt über die Mo-
y
x
θ W
J W
m W
g
ψ
l P
ẋ
J P
m P
Bild 9.56 Mechanisches Ersatzschaltbild
Radantrieb
torkonstante k M vom Strom i ab, d. h. τ M = k M i .
Die Motorgeschwindigkeit ω Motor lässt sich über die Getriebeübersetzung γ aus der Radgeschwindigkeit
ω W = ˙θ W ableiten. Die rotatorische Geschwindigkeit ω W ist mit der translatorischen
Geschwindigkeit ẋ über den Radradius r W gekoppelt, d. h.
ω Motor = γω W = γ ẋ
r W
. (9.92)
Unter Berücksichtigung des Wirkungsgrades η und der Getriebeübersetzung γ kann man nun
das getriebeseitig wirkende Moment τ G angeben (Faktor 2 wegen zwei Radmotoren)
τ G = 2γη(k M i − k f ω Motor )=2γη(k M i − k f γ ẋ
r W
). (9.93)
Hiermit ist die motorseitige Beschreibung abgeschlossen. Die Gl. (9.93) wird später noch benötigt.
Die weitere Modellierung findet mit Hilfe der LAGRANGE’schen Methode statt (vgl. dazu
Abschnitt 6.2.3). Dafür sei nun Bild 9.56 betrachtet.
Die potentielle Energie des Systems U lautet mit dem Pendelwinkel ψ, der Ersatzpendellänge
l P , der Ersatzpendelmasse m P und der Gravitationskonstanten g
U = m P g l P cos(ψ). (9.94)