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Beispiele mechatronischer Systeme

lxii 9

lxii 9 Beispiele mechatronischer Systeme Stabilisierung mit den Antriebsrädern Nun erfolgt die Betrachtung des über die Antriebsräder stabilisierten Systems – es entsteht das Inverse Pendel auf Rädern, wie es Bild 9.56 darstellt. Das dynamische Modell eines Antriebssystems war mehrfach Gegenstand der Untersuchung im Methodenteil, etwa in den Beispielen 7.10 (Modellbildung und -vereinfachung), 8.5 (Kaskadenregelung), 8.8 (Störgrößenbeobachtung) sowie 8.18 und 8.19 (Drehzahlregelung und Implementierung). Die beschreibende Differentialgleichung für ein Rad (zunächst ohne Getriebe) lautet J W ¨θW = τ M − k f ˙θW , (9.91) wobei hier J W für das Massenträgheitsmoment des Rades, ¨θ W für die Winkelbeschleunigung, dementsprechend ˙θ W für die Winkelgeschwindigkeit des Rades und k f für die geschwindigkeitsproportionale (viskose) Dämpfung stehen. Das Antriebsmoment τ M hängt über die Mo- y x θ W J W m W g ψ l P ẋ J P m P Bild 9.56 Mechanisches Ersatzschaltbild Radantrieb torkonstante k M vom Strom i ab, d. h. τ M = k M i . Die Motorgeschwindigkeit ω Motor lässt sich über die Getriebeübersetzung γ aus der Radgeschwindigkeit ω W = ˙θ W ableiten. Die rotatorische Geschwindigkeit ω W ist mit der translatorischen Geschwindigkeit ẋ über den Radradius r W gekoppelt, d. h. ω Motor = γω W = γ ẋ r W . (9.92) Unter Berücksichtigung des Wirkungsgrades η und der Getriebeübersetzung γ kann man nun das getriebeseitig wirkende Moment τ G angeben (Faktor 2 wegen zwei Radmotoren) τ G = 2γη(k M i − k f ω Motor )=2γη(k M i − k f γ ẋ r W ). (9.93) Hiermit ist die motorseitige Beschreibung abgeschlossen. Die Gl. (9.93) wird später noch benötigt. Die weitere Modellierung findet mit Hilfe der LAGRANGE’schen Methode statt (vgl. dazu Abschnitt 6.2.3). Dafür sei nun Bild 9.56 betrachtet. Die potentielle Energie des Systems U lautet mit dem Pendelwinkel ψ, der Ersatzpendellänge l P , der Ersatzpendelmasse m P und der Gravitationskonstanten g U = m P g l P cos(ψ). (9.94)

9.6 Inertiale Stabilisierung einer Lastkarre mit Momentenkreiseln lxiii Nun gilt es die kinetische Energie T des Systems zu bestimmen. Diese teilt sich auf die Räder (Index W) und das Pendel (Index P) auf. Für die rotatorische und translatorische Energie der Räder ermittelt man: T W = 2( 1 2 J W ˙θ 2 W + 1 2 m W ẋ 2 ). (9.95) In dieser Formel stehen J W für das Massenträgheitsmoment der Räder und m W für die Masse der Räder. Für die Bestimmung der kinetischen Energie des Pendels sind wiederum ein rotatorischer und translatorischer Teil zu unterscheiden T P = 1 2 J P ˙ψ 2 + 1 2 m P v 2 P . (9.96) Hier stehen J P für das Massenträgheitsmoment des Pendels und v P für die translatorische Geschwindigkeit. Letztere bestimmt man über die kinematischen Beziehungen. Für die Pendelposition x P und -geschwindigkeit ẋ P = v P gilt ⎡ ⎤ x+ l P sin(ψ) ⎡ ⎤ ẋ+ l P cos(ψ) ˙ψ x P = ⎣ l P cos(ψ) 0 ⎦ ; v P = ẋ P = ⎣ −l P sin(ψ) ˙ψ 0 ⎦ . (9.97) Damit erhält man für v 2 P v 2 P = v T P v P= ẋ 2 + 2 ẋ ˙ψl P cos(ψ)+l 2 P ˙ψ2 (9.98) und für Gl. (9.96) schließlich T P = 1 2 J P ˙ψ 2 + 1 2 m (ẋ2 P + 2ẋ ˙ψl P cos(ψ)+l 2 P ˙ψ2) . (9.99) Für die Radumdrehung ohne Berücksichtigung von Schlupf folgt aus Gl. (9.92): ˙θ W = 1 r W ẋ und x = θ W r W . (9.100) Die LAGRANGE-Funktion lautet unter der Berücksichtigung von L= T −U L= T W + T P −U = (m W + J W r 2 + 1 2 m P)ẋ 2 + 1 2 (m Pl 2 P + J P) ˙ψ 2 + m P l P ẋ ˙ψcos(ψ)−m P g l P cos(ψ). (9.101) W Es ist nun die LAGRANGE’sche Gleichung 2. Art gemäß Gl. (6.56) bzw. (6.58) für x und ψ auszuwerten ( ) d ∂L x : − ∂L dt ∂ẋ ∂x = F x , (9.102) ( ) d ∂L ψ : − ∂L dt ∂ ˙ψ ∂ψ = τ ψ . (9.103) Für die von außen angreifenden nichtkonservativen Kräfte und Momente gilt hierbei F x = τ G r W ; τ ψ =−τ G (9.104)

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