Beispiele mechatronischer Systeme

9.6 Inertiale Stabilisierung einer Lastkarre mit Momentenkreiseln lxiii
Nun gilt es die kinetische Energie T des Systems zu bestimmen. Diese teilt sich auf die Räder
(Index W) und das Pendel (Index P) auf. Für die rotatorische und translatorische Energie der
Räder ermittelt man:
T W = 2( 1 2 J W ˙θ 2 W + 1 2 m W ẋ 2 ). (9.95)
In dieser Formel stehen J W für das Massenträgheitsmoment der Räder und m W für die Masse
der Räder. Für die Bestimmung der kinetischen Energie des Pendels sind wiederum ein rotatorischer
und translatorischer Teil zu unterscheiden
T P = 1 2 J P ˙ψ 2 + 1 2 m P v 2 P . (9.96)
Hier stehen J P für das Massenträgheitsmoment des Pendels und v P für die translatorische Geschwindigkeit.
Letztere bestimmt man über die kinematischen Beziehungen. Für die Pendelposition
x P und -geschwindigkeit ẋ P = v P gilt
⎡ ⎤
x+ l P sin(ψ)
⎡ ⎤
ẋ+ l P cos(ψ) ˙ψ
x P = ⎣ l P cos(ψ)
0
⎦ ; v P = ẋ P = ⎣ −l P sin(ψ) ˙ψ
0
⎦ . (9.97)
Damit erhält man für v 2 P
v 2 P = v T P v P= ẋ 2 + 2 ẋ ˙ψl P cos(ψ)+l 2 P ˙ψ2 (9.98)
und für Gl. (9.96) schließlich
T P = 1 2 J P ˙ψ 2 + 1 2 m (ẋ2 P + 2ẋ ˙ψl P cos(ψ)+l 2 P ˙ψ2) . (9.99)
Für die Radumdrehung ohne Berücksichtigung von Schlupf folgt aus Gl. (9.92):
˙θ W = 1
r W
ẋ und x = θ W r W . (9.100)
Die LAGRANGE-Funktion lautet unter der Berücksichtigung von L= T −U
L= T W + T P −U
= (m W + J W
r 2 + 1 2 m P)ẋ 2 + 1 2 (m Pl 2 P + J P) ˙ψ 2 + m P l P ẋ ˙ψcos(ψ)−m P g l P cos(ψ). (9.101)
W
Es ist nun die LAGRANGE’sche Gleichung 2. Art gemäß Gl. (6.56) bzw. (6.58) für x und ψ auszuwerten
( )
d ∂L
x : − ∂L
dt ∂ẋ ∂x = F x , (9.102)
( )
d ∂L
ψ : − ∂L
dt ∂ ˙ψ ∂ψ = τ ψ . (9.103)
Für die von außen angreifenden nichtkonservativen Kräfte und Momente gilt hierbei
F x = τ G
r W
; τ ψ =−τ G (9.104)