Beispiele mechatronischer Systeme

9.4 Deltaroboter mit PLCopen Funktionsbausteinen xxxvii
entsprechende Funktionsbausteine zur Verfügung stellen. Nachstehend ist die Herleitung der
kinematischen Transformationen des Deltaroboters dargestellt, wie sie im hier beschriebenen
Softwaremodul enthalten sind.
x
z
y
Basispla form
l₁
r 0
(KS)₀
l₂
Endeffektor
Bild 9.35 Kinematische Struktur des Deltaroboters (links) mit Ansicht von unten (rechts) bei horizontal
ausgerichteten Kniehebeln [OKO15].
Inverse Kinematik
Zur mathematischen Beschreibung der Struktur einer PKM mit geschlossenen kinematischen
Ketten werden zunächst die Freiheitsgrade sämtlicher aktiver und passiver Gelenke in einem
Vektor
q = [ ϕ 11 , ϕ 12 , ϕ 13 , ϕ 21 , ϕ 22 , ϕ 23 , ϕ 31 , ϕ 32 , ϕ 33
] T
(9.48)
zusammengefasst. Dabei stellen die ersten drei Elemente die aktiven Gelenkkoordinaten
q a = [ ϕ 11 , ϕ 12 , ϕ 13
] T
(9.49)
dar. Die Winkel ϕ 2i und ϕ 3i (i = 1..3) beschreiben die Orientierung der Parallelogramme. Wie
bei PKM üblich, werden für die kinematischen Gleichungen als Minimalkoordinaten λ die kartesischen
Bewegungsfreiheitsgrade
λ= x E = [ x, y, z ] T
(9.50)
verwendet. Zur Bestimmung der kinematischen Zwangsbedingungen wird zunächst jede der
drei kinematischen Ketten bezogen auf ein eigenes Koordinatensystem (KS) i beschrieben, dessen
Achse y i die Rotationsachse des Antriebs i darstellt. Für die Antriebskoordinaten q a = 0
sind die Kniehebel in der horizontalen x y-Ebene des (KS) 0 ausgerichtet (vgl. Bild 9.35). Zur
Beschreibung der kinematischen Zwangsbedingungen wird entsprechend Bild 9.36 für jede
kinematische Kette zunächst ein Vektorzug
(i )r 0E ,i = (i ) r 0A,i + (i ) r AB,i + (i ) r BC ,i + (i ) r C E ,i (9.51)
im jeweiligen Koordinatensystem (KS) i erstellt. Dieser ergibt sich mithilfe der bereits definierten
Winkel zu
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
x 1 cos(ϕ 1i ) cos(ϕ 3i )cos(ϕ 1i + ϕ 2i ) −1
⎣ y ⎦=r 0
⎣ 0 ⎦+l 1
⎣ 0 ⎦+l 2
⎣ sin(ϕ 3i ) ⎦+r E
⎣ 0 ⎦ (9.52)
z 0 sin(ϕ 1i ) cos(ϕ 3i )sin(ϕ 1i + ϕ 2i )
0
(i )