Inhaltsverzeichnis - Mathematisches Institut der Universität zu Köln

DMV Tagung 2011 - Köln, 19. - 22. September
Abdullah Demirel
Karlsruhe Institut für Technologie
Exponentielle Mehrschrittverfahren und deren Anwendung zur Simulation optischer
Resonatoren
In der Physik treten häufig Anwendungen auf, deren Modellierung auf zeitabhängige partielle Differentialgleichungen
führen, bei denen nur in einem kleinen Teil des Rechengebiets eine Ortsdiskretisierung
mit sehr kleinen Elementen (Dreiecke, Tetraeder, etc.) benötigt wird. Diese kleinen Elemente erfordern
jedoch bei der Zeitintegration mit expliziten Verfahren die Verwendung von sehr kleinen Zeitschrittweiten
und machen damit Standardverfahren ineffizient.
In diesem Vortrag erläutern wir die Konstruktion spezieller exponentieller Mehrschritt-Verfahren, mit
denen eine effiziente Simulation optischer Ringresonatoren möglich ist. Unsere Implementierung basiert
auf einem Multiple-Time-Stepping Ansatz und kommt ohne die Berechnung von Produkten von Matrixfunktionen
mit Vektoren aus, wie sie üblicherweise bei exponentiellen Integratoren benötigt werden.
Der Vortrag basiert auf gemeinsamer Arbeit mit Kurt Busch, Jens Niegemann und Marlis Hochbruck im
Rahmen des DFG Graduiertenkollegs 1294.
Kersten Schmidt, Willy Dörfler
TU Berlin
Modelling of photonic crystal wave-guides modes
In this project we study appearing modes in photonic crystal wave-guides of finite width and infinite
periodicity in the other direction. The TE and TM modes for a given frequency ω are determined by a
quadratic eigenvalue problem in the quasi-momentum k in the unit cell even if the material is frequencydependent.
The unit cell is an infinite strip. Truncating the strip and using Dirichlet-to-Neumann maps
as absorbing boundary conditions would destroy the structure of the eigenvalue problem. We compare
different ways to model the behaviour at infinity where the eigenvalue problem remains quadratic. For a
highly accurate discretisation we use the p-version of the finite element method on meshes with curved
cells.
Christian Engström
ETH Zürich
Spectral approximation of operator functions with periodic coefficients
A large number of processes are accurately described by operator functions with a nonlinear dependence
of a spectral parameter, but a linear dependence on the field. Problems involving operator functions result
from many important applications in fluid dynamics, acoustics, quantum mechanics, and electromagnetic
field theory. In this talk, I focus on Galerkin spectral approximation theory for operator functions with
periodic coefficients. The main applications are metallic photonic crystals and metamaterials, which are
promising materials for controlling and manipulating electromagnetic waves. We show basic properties
of the spectrum and use high-order finite element methods with curvilinear elements to discretize the
nonlinear eigenvalue problem. The resulting matrix problems are transformed into linear eigenvalue problems
and approximate eigenpairs are computed with a Krylov space method. Two different linearization
techniques for rational eigenvalue problems will be discussed.
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