Inhaltsverzeichnis - Mathematisches Institut der Universität zu Köln

DMV Tagung 2011 - Köln, 19. - 22. September
Stefan Neukamm
Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften, Leipzig
Homogenization of nonlinearly elastic materials in small strain regimes
The energy associated to a nonlinearly elastic composite is given by a variational integral of the form
�
Ω Wε(x,∇v(x))dx where v : Ω → R d is a sufficiently smooth deformation and Wε(x,F) a stored energy
function that typically oscillates in x on scale ε ≪ 1, and is nonconvex in F. Due to the nonconvexity, the
passage to the homogenization limit ε → 0 is subtle: Buckling phenomena might occur and local stability
might be lost. As a consequence, the extraction of qualitative and quantitative properties of the effective
behavior is difficult. In this talk, we consider composite materials that have a single, quadratic energy well
at the set of rotations. We present two results where homogenization is combined with either linearization
or dimension reduction (in the bending regime). We demonstrate that effective properties can rigorously
be derived in small strain regimes, based on the local convexity of the stored energy function at SO(d). In
particular, we derive (as a Γ-limit from 3d-elasticity) a homogenized, nonlinear bending-torsion theory for
rods, and prove the commutativity of homogenization and linearization.
Literatur
S. Müller and S. Neukamm : On the commutability of homogenization and linearization in finite elasticity.
Accepted for publication in Arch. Rat. Mech. Anal.
A. Gloria and S. Neukamm : Commutability of homogenization and linearization at identity in finite elasticity
and applications. Accepted for publication in Ann. I. H. Poincaré – AN
S. Neukamm (2010): Homogenization, linearization and dimension reduction in elasticity with variational
methods. Dissertation Technische Universität München
Enea Parini
CEREMADE - Université Paris-Dauphine
Optimale Konstante für eine Einbettung höherer Ordnung und ein etwas merkwürdiges
Eigenwertproblem
Wir betrachten folgendes Problem: man finde die optimale Konstante für die Einbettung des Raumes
W 2,1
�
∆ (Ω) := u ∈ W 1,1
0 (Ω)|∆u ∈ L 1 �
(Ω)
in den Raum L1 (Ω). Dabei ist Ω ⊂ Rn ein beschränktes Gebiet. Dies ist äquivalent dazu, den ersten
Eigenwert des 1-biharmonischen Operators
∆ 2 � �
∆u
1u := ∆
|∆u|
unter (verallgemeinerten) Navier-Randbedingungen zu finden. In diesem Vortrag geben wir eine Interpretation
des Eigenwertproblems, wir zeigen eine Ungleichung vom Faber-Krahn Typ, und und für den
Fall einer Kugel berechnen wir den ersten Eigenwert und die erste Eigenfunktion explizit. Die Resultate
entstanden in Zusammenarbeit mit Bernhard Ruf und Cristina Tarsi (Università degli Studi di Milano).
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