Inhaltsverzeichnis - Mathematisches Institut der Universität zu Köln

Eleutherius Symeonidis
Katholische Universität Eichstätt-Ingolstadt
Die Harmonische Deformation ebener Kurven
DMV Tagung 2011 - Köln, 19. - 22. September
Sei Ω ein einfach zusammenhängendes Gebiet in der Ebene, t ↦→ (x0(t),y0(t)) ∈ Ω eine glatte Kurve, die
über ein Intervall I parametrisiert ist. Sei ferner J ein Intervall mit 0 ∈ J, J × I ∋ (s,t) ↦→ (x(s,t),y(s,t)) ∈ Ω
eine konforme Abbildung mit x(0,t) ≡ x0(t), y(0,t) ≡ y0(t).
Ist h eine harmonische Funktion auf Ω, für die I ∋ t ↦→ h(x0(t),y0(t)) integrierbar ist und
lim ˜h(x(s,t),y(s,t)) = lim ˜h(x(s,t),y(s,t))
t→infI
t→supI
für alle s ∈ J gilt, wobei ˜h eine harmonische Konjugierte zu h ist, so gilt
�
I
�
h(x(s,t),y(s,t))dt = h(x0(t),y0(t))dt
I
für alle s ∈ J, d. h. dass das Integral von h über die Kurven der Familie (t ↦→ (x(s,t),y(s,t)))s∈J invariant
ist. Dies berechtigt, von einer harmonischen Deformation der ursprünglichen Kurve zu sprechen. (Die
Bedingung an ˜h ist automatisch erfüllt, wenn alle Kurven der obigen J-Familie geschlossen sind und I
kompakt ist.)
Des Weiteren wird ein allgemeines Prinzip vorgestellt, nach dem eine konforme Abbildung wie oben aus
einem bestimmten „Potential“ ableitbar ist.
Der Vortrag endet mit einer Reihe von Beispielen, in denen auch unbeschränkte Kurven t ↦→ (x0(t),y0(t))
oder solche mit mehrfachen Punkten vorkommen.
Literatur
Symeonidis, E. (2011). Harmonic Deformation of Planar Curves. International Journal of
Mathematics and Mathematical Sciences, vol. 2011, Article ID 141209, 10 pages, 2011,
doi:10.1155/2011/141209.
László Szekelyhidi
Bonn
Die inkompressiblen Eulergleichungen: Nichteindeutigkeit und Selektionsprinzipien
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