Inhaltsverzeichnis - Mathematisches Institut der Universität zu Köln

DMV Tagung 2011 - Köln, 19. - 22. September
Samuel Littig
Technische Universität Dresden
Konvergenz der Eigenwerte des p-Laplace-Operators für p gegen 1
Als Lösung einer Euler-Lagrange-Gleichung sind die Eigenwerte des p-Laplace-Operators per Definition
kritische Punkte des zugehörigen Variationsproblems. Im entarteten Fall p = 1, für den die Energie nicht
mehr differenzierbar ist, definiert man Eigenwerte des 1-Laplace-Operators daher als kritische Punkte
im Sinne des weak slope des entsprechenden Variationsproblems. Im Fall p > 1 lässt sich die Existenz
einer unbeschränkten Folge (λ k p)k von Eigenwerten des p-Laplace-Operators mittels Minimax-Methoden
nachweisen. Die Definition der Minimax-Werte überträgt sich für p = 1 und es wurde gezeigt, dass die so
definierten (λ k 1 )k ebenfalls eine unbeschränkte Folge von Eigenwerten des 1-Laplace-Operators bilden.
Ferner wurde gezeigt, dass die Eigenwerte des p-Laplace-Operators für p gegen 1 gegen die Eigenwerte
des 1-Laplace-Operators konvergieren.
Literatur
J. P. G. Azorero und I. P. Alonso (1987). Existence and nonuniqueness for the p-Laplacian. Communications
in Partial Differential Equations, 12, 1389–1430.
S. Littig und F. Schuricht (Preprint, 2011). Convergence of the eigenvalues of the p-Laplace operator as
p goes to 1.
Z. Milbers und F. Schuricht (2010). Existence of a sequence of eigensolutions for the 1-Laplace operator.
Journal of the London Mathematical Society, 82, 74–88.
Zoja Milbers
Technische Universität Dresden
Notwendige Bedingung für Eigenlösungen des 1-Laplace-Operators mittels innerer Variationen
Eigenfunktionen des p-Laplace-Operators für p > 1 sind definiert als kritische Punkte des zugehörigen Variationsproblems.
Dies ist äquivalent dazu, dass es Lösungen der zugehörigen Euler-Lagrange-Gleichung
sind. Im stark entarteten Grenzfall des 1-Laplace-Operators können die Eigenfunktionen ebenfalls als kritische
Punkte eines Variationsproblems definiert werden, wobei man kritische Punkte im Sinne des weak
slope versteht. Allerdings hat die zugehörige Euler-Lagrange-Gleichung viele Lösungen, die nicht kritische
Punkte sind, d. h. die Gleichung kann nicht für eine äquivalente Definition genutzt werden. Wir leiten eine
neue notwendige Bedingung für Eigenfunktionen des 1-Laplace-Operators mittels innerer Variationen
des Variationsfunktionals her und zeigen damit, dass bestimmte Lösungen der Euler-Lagrange-Gleichung
keine Eigenfunktionen sind.
Literatur
Z. Milbers, F. Schuricht (2010). Existence of a sequence of eigensolutions for the 1-Laplace operator. J.
Lond. Math. Soc. (2) 82, 74-88.
Z. Milbers, F. Schuricht (2010). Necessary condition for eigensolutions of the 1-Laplace operator by means
of inner variations. TU-Dresden preprint MATH-AN-01-2010.
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