Inhaltsverzeichnis - Mathematisches Institut der Universität zu Köln
Inhaltsverzeichnis - Mathematisches Institut der Universität zu Köln
Inhaltsverzeichnis - Mathematisches Institut der Universität zu Köln
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
DMV Tagung 2011 - <strong>Köln</strong>, 19. - 22. September<br />
Stephan Dominique Andres, Winfried Hochstättler<br />
Fern<strong>Universität</strong> in Hagen<br />
Einige Heuristiken für das binäre Paintshop-Problem<br />
Motiviert durch ein Anwendungsproblem in <strong>der</strong> Automobilindustrie führten Epping et al. (2004) das binäre<br />
Paintshop-Problem ein. Eine Instanz dieses Problems besteht aus einem Wort mit 2n Buchstaben aus<br />
einem Alphabet mit n Zeichen, bei dem jedes Zeichen genau zwei mal als Buchstabe vorkommt. Dieses<br />
Wort soll so mit zwei Farben gefärbt werden, dass jedes Zeichen genau einmal mit je<strong>der</strong> Farbe gefärbt<br />
wird. Hierbei soll die Anzahl <strong>der</strong> Farbwechsel zwischen aufeinan<strong>der</strong>folgenden Buchstaben minimiert werden.<br />
Bonsma et al. (2006) haben gezeigt, dass dieses Optimierungsproblem A PX -hart ist. Bislang<br />
ist jedoch keine Konstante-Faktor-Approximation für das binäre Paintshop-Problem bekannt. Im Vortrag<br />
untersuchen wir drei Heuristiken für das binäre Paintshop-Problem und bestimmen asymptotisch den Erwartungswert<br />
ihrer benötigten Farbwechsel in Abhängigkeit von <strong>der</strong> Alphabetgröße n. So benötigt die<br />
Greedy-Heuristik, die das Wort von links nach rechts liest und Farbwechsel nur dann vornimmt, wenn sie<br />
nötig sind, asymptotisch im Erwartungswert n/2 Farbwechsel. Dieses Ergebnis wurde bereits von Amini<br />
et al. (2010) vermutet. Eine an<strong>der</strong>e Heuristik, die Red-First-Heuristik, kommt auf (2n + 1)/3 Farbwechsel.<br />
Die beste Performance liefert eine Modifikation <strong>der</strong> Greedy-Heuristik, die rekursive Greedy-Heuristik, mit<br />
asymptotisch 2n/5 Farbwechseln.<br />
Literatur<br />
Amini, H., Meunier, F., Michel, H., Mohajeri, A. (2010). Greedy colourings of the binary paintshop problem.<br />
Journal of Discrete Algorithms, 8, 8 - 14.<br />
Bonsma, P.S., Epping, T., Hochstättler, W. (2006). Complexity results on restricted instances of a paint<br />
shop problem for words. Discrete Applied Mathematics, 154, 1335 - 1343.<br />
Epping, T., Hochstättler, W., Oertel, P. (2004). Complexity results on a paint shop problem. Discrete Applied<br />
Mathematics, 136, 217 - 226.<br />
Winfried Hochstättler<br />
Fern<strong>Universität</strong> in Hagen<br />
Sind Transversalmatroide dreifärbbar?<br />
Hugo Hadwiger vermutete, dass die chromatische Zahl χ(G) eines Graphen nur dann größer als k sein<br />
kann, wenn G einen Kk+1-Minor hat. William T. Tutte vermutete, dass ein Graph ohne Petersen-Minor<br />
stets einen NZ-4-Fluss hat, und dass je<strong>der</strong> Graph einen NZ-5-Fluss hat. Verallgemeinert man die Theorie<br />
<strong>der</strong> NZ-Flüsse auf reguläre Matroide, erkennt man, dass die Vermutungen von Tutte und Hadwiger<br />
<strong>zu</strong>sammenfallen, wobei <strong>der</strong> Petersen-Dual im Falle <strong>der</strong> 5-Färbbarkeit als verbotener Minor da<strong>zu</strong> kommt.<br />
Ausgehend von einer Arbeit mit Jaroslav Nešetˇril haben wir die Theorie <strong>der</strong> NZ-Flüsse auf orientierbare<br />
Matroide übertragen und u.a. mit Robert Nickel gezeigt, dass bis auf den Kr+1 ein orientierbares Matroid<br />
vom Rang r stets r-färbbar ist. Da uniforme Matroide stets zwei- o<strong>der</strong> dreifärbbar sind, könnte Hadwigers<br />
Vermutung allgemeiner für orientierbare Matroide gelten.<br />
Mit Luis Goddyn untersuchen wir die 3-Färbbarkeit von Matroiden ohne K4-Minor, insbeson<strong>der</strong>e von Transversalmatroiden<br />
und Gammoiden. Wir berichten über Teilergebnisse.<br />
Literatur<br />
Hochstättler W., Nickel R. (2008): On the Chromatic Number of an Oriented Matroid. Journal of Combinatorial<br />
Theory, Series B, 98, 698—706.<br />
68
Change language