Linear Algebra, 2020a

342 Chapter Four. Determinants
For instance, P φ2 ’s first row is ι φ2 (1) = ι 2 and its second is ι φ2 (2) = ι 1 .
3.11 Example Consider the 3-permutation φ 5 = 〈3, 1, 2〉. The permutation matrix
P φ5 has rows ι φ5 (1) = ι 3 , ι φ5 (2) = ι 1 , and ι φ5 (3) = ι 2 .
⎛
⎜
0 0 1
⎞
⎟
P φ5 = ⎝1 0 0⎠
0 1 0
3.12 Definition The permutation expansion for determinants is
∣ t 1,1 t 1,2 ... t ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1,n
t 2,1 t 2,2 ... t 2,n
= t 1,φ1 (1)t 2,φ1 (2) ···t n,φ1 (n)|P φ1 |
.
+ t
∣
1,φ2 (1)t 2,φ2 (2) ···t n,φ2 (n)|P φ2 |
t n,1 t n,2 ... t n,n .
+ t 1,φk (1)t 2,φk (2) ···t n,φk (n)|P φk |
where φ 1 ,...,φ k are all of the n-permutations.
We can restate the formula in summation notation
|T| =
∑
permutations φ
t 1,φ(1) t 2,φ(2) ···t n,φ(n) |P φ |
read aloud as, “the sum, over all permutations φ, of terms having the form
t 1,φ(1) t 2,φ(2) ···t n,φ(n) |P φ |.”
3.13 Example The familiar 2×2 determinant formula follows from the above
∣ t 1,1 t ∣∣∣∣
1,2
= t
∣
1,1 t 2,2 · |P φ1 | + t 1,2 t 2,1 · |P φ2 |
t 2,1 t 2,2 = t 1,1 t 2,2 ·
1 0
∣0 1∣ + t 1,2t 2,1 ·
0 1
∣1 0∣
= t 1,1 t 2,2 − t 1,2 t 2,1
as does the 3×3 formula.
∣ t 1,1 t 1,2 t ∣∣∣∣∣∣
1,3
t 2,1 t 2,2 t 2,3 = t 1,1 t 2,2 t 3,3 |P φ1 | + t 1,1 t 2,3 t 3,2 |P φ2 | + t 1,2 t 2,1 t 3,3 |P φ3 |
∣t 3,1 t 3,2 t 3,3 + t 1,2 t 2,3 t 3,1 |P φ4 | + t 1,3 t 2,1 t 3,2 |P φ5 | + t 1,3 t 2,2 t 3,1 |P φ6 |
= t 1,1 t 2,2 t 3,3 − t 1,1 t 2,3 t 3,2 − t 1,2 t 2,1 t 3,3
+ t 1,2 t 2,3 t 3,1 + t 1,3 t 2,1 t 3,2 − t 1,3 t 2,2 t 3,1