Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

£f ¢£m 3a 8 I 8¢§Plasticité et viscoplasticité 3D 103M¨¨ quatre, N¨¨ , Q¨¨, R¨¨ , qui doivent tous respecter la condition énoncée en section 2.5.4pour respecter l’incompressibilité. L’évolution de la contrainte interne fait intervenirtrois variables imbriquées˙α¨¢˙α¨¢˙α¨¡ ¢23 Y£ N¨¨ : ˙ε¨ p ¥ Q¨¨J R α¨ ¡¥ λ rαsinh¡0 ¤£ 2: p 1¤3¢ ¥ Q¨¨N¨¨ ˙ε¨ Y£2¤ ¢23 Y£ N¨¨ : ˙ε¨ p ¥ Q¨¨:¢Ẍ ¥ Ẍ:¢Ẍ: Ẍ£1¤£ṗ1¤£0N¨¨ : R¨¨ :¥ Ẍavec : Ẍ ¢ p α¨ ; Ẍ £ 1¤¢ p 1 ᨣṗ2¤£α¨J R ¡(3.106)α¨(3.107)£ṗ (3.108)2¤£1¤; Ẍ £ 2¤¢ p 2 ᨣ2¤(3.109)Dans sa version d’origine, ce modèle comporte un terme de restauration dansl’équation 3.106, qui sera discuté dans le prochain paragraphe, et une formulationviscoplastique. La déformation viscoplastique respecte la règle de normalité avec uneloi d’écoulement en sinh pour rendre compte de la forte non–linéarité de la vitesse defluage en fonction de la contrainte :p 3 : s M¨¨ ¨ ¥ Ẍ¡ ¢ ˙ε¨2 ˙vJ M ¥ X¡avec ˙v ¢ ˙ε 0 sinh¡J M σ¨ ¥ Ẍ¡σ N 0 ¤n(3.110)Il existe aussi des propositions pour modéliser l’anisotropie induite par la déformation; il s’agit par exemple du modèle de Baltov–Sawczuck [BAL 65], qui est obtenuen posant respectivement pour f et B¨¨ :σ¨ ¡ R¡ σ¨ ¡ ¢ ¥ ¢ ¨¨¥ ¥ 3¡ ¨ Ẍ¡ ¨ ¥ B¨¨ f Ẍ J B R σ y avec I 1 I IAε¨pε¨p(3.111)Les deux critères cités ci–dessus se contentent d’utiliser des expressions du seconddegré en contrainte. En fait, les invariants utilisables sont bien plus variés [BOE 78].Dans le cas des monocristaux à symétrie cubique, des propositions de critères utilisantdes invariants d’ordre élevé ont été faites, ainsi [NOU 92, NOU 95] :£¤32 I 1 2a 4 I4¤23¥¦a ¥4 6 6¡ I1 12¥ R (3.112)avec :¢ ¢ ¢¢ I 1 S11 2 S22 2 S33 2 (3.113)I 2 S 11 S 22 S 22 S 33 S 33 S 11 (3.114)I 4 S12 2 S23 2 S31 2 (3.115)I 8 S12 4 S23 4 S31 4 (3.116)