Mastère COMADIS Lois de comportement non linéaires des matériaux

84 Mécanique non linéaire des matériaux3.4. Expression de quelques lois particulières en plasticité3.4.1. Loi de Prandtl–ReussC’est la loi obtenue en utilisant le critère de von Mises et une règle d’écrouissageisotrope. La fonction de charge est donc :f σ¨ ¡ R¡ ¢ J σ¨ ¡ ¥ σ y ¥ R p¡ (3.40)L’écrouissage isotrope est décrit par la fonction R p¡ . Dans le cas d’un chargementuniaxial, en traction où seule la composante σ 11 ¢ σ est non nulle, l’égalité f σ¨ ¡ R¡ ¢ 0se résume à :σ ¢ σ y R p¡ (3.41)La courbe décrite par (σ y R p¡ ) est donc la courbe d’écrouissage en chargementuniaxial monotone, la déformation de traction ε p ¢11ε p étant égale dans ce cas à ladéformation plastique cumulée. Le module plastique peut être évalué comme la pentede cette courbe :¢ σ σ y R ε p ; H ¢dR dRdε p dp¡ ¢(3.42)R p¡ peut être définie point par point, par une fonction puissance ou une fonction exponentielle,comme on l’a vu dans le chapitre sur la plasticité uniaxiale. Quelle quesoit la forme choisie pour R, la condition de cohérence permet de trouver le multiplicateurplastique (˙λ ¢ ṗ) :∂ f∂σ¨: ˙σ¨ ∂¢f0 s’écrit n¨ : ¥ : H ṗ ¢ 0 (3.43)∂RṘ ˙σ¨et : ˙λ ¢: n¨H˙σ¨(3.44)La loi de Prandlt-Reuss permet de déterminer la direction et l’intensité de l’écoulementplastique :n¨ :H˙σ¨avec 3 ¨s(3.45)2 J¢ n¨ n¨˙ε¨p ¢ ˙λn¨ ¢Dans le cas particulier de la traction simple, cette expression générale se réduitbien à la forme uniaxiale habituelle :n 11 ¢ signe σ¡ ¡ n¨ : ˙σ¨ ¢ ˙σsigne σ¡ et : ˙λ ¢ ṗ ¢ ˙ε p 11(3.46)si bien que :˙ε p ¢n 11 ˙σH n 11 ¢˙σH(3.47)